Pré-calcul Exemples

$6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5 > 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5 = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Factorisez $6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Étape 2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{3}, \pm 5, \pm 0.8\overline{3}, \pm 2.5, \pm 1.\overline{6}$

Étape 2.1.3

Remplacez $0.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $0.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.3.1

Remplacez $0.5$ dans le polynôme.

$6 \cdot {0.5}^{3} + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

Étape 2.1.3.2

Élevez $0.5$ à la puissance $3$ .

$6 \cdot 0.125 + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $6$ par $0.125$ .

$0.75 + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

Étape 2.1.3.4

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$0.75 + 25 \cdot 0.25 - 24 \cdot 0.5 + 5$

Étape 2.1.3.5

Multipliez $25$ par $0.25$ .

$0.75 + 6.25 - 24 \cdot 0.5 + 5$

Étape 2.1.3.6

Additionnez $0.75$ et $6.25$ .

$7 - 24 \cdot 0.5 + 5$

Étape 2.1.3.7

Multipliez $- 24$ par $0.5$ .

$7 - 12 + 5$

Étape 2.1.3.8

Soustrayez $12$ de $7$ .

$- 5 + 5$

Étape 2.1.3.9

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$0$

Étape 2.1.4

Comme $0.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5}{2 x - 1}$

Étape 2.1.5

Divisez $6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ par $2 x - 1$ .

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Étape 2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$1$

$6 x^{3}$

$25 x^{2}$

$24 x$

$5$

Étape 2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $6 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$3 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$

Étape 2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			+	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Étape 2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $6 x^{3} - 3 x^{2}$

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Étape 2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$

Étape 2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$

Étape 2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $28 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$

Étape 2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					+	$28 x^{2}$	-	$14 x$

Étape 2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $28 x^{2} - 14 x$

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$

Étape 2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$

Étape 2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$

Étape 2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 10 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$

Étape 2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							-	$10 x$	+	$5$

Étape 2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 10 x + 5$

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							+	$10 x$	-	$5$

Étape 2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							+	$10 x$	-	$5$
										$0$

Étape 2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$3 x^{2} + 14 x - 5$

Étape 2.1.6

Écrivez $6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ comme un ensemble de facteurs.

$(2 x - 1) (3 x^{2} + 14 x - 5) = 0$

Étape 2.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ et dont la somme est $b = 14$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Factorisez $14$ à partir de $14 x$ .

$(2 x - 1) (3 x^{2} + 14 (x) - 5) = 0$

Étape 2.2.1.1.2

Réécrivez $14$ comme $- 1$ plus $15$

$(2 x - 1) (3 x^{2} + (- 1 + 15) x - 5) = 0$

Étape 2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x - 1) (3 x^{2} - 1 x + 15 x - 5) = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 x - 1) ((3 x^{2} - 1 x) + 15 x - 5) = 0$

Étape 2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(2 x - 1) (x (3 x - 1) + 5 (3 x - 1)) = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 1$ .

$(2 x - 1) ((3 x - 1) (x + 5)) = 0$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(2 x - 1) (3 x - 1) (x + 5) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$3 x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 4

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 5

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $3 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 1$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Étape 6

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x - 1) (3 x - 1) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, - 5$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$6 {(- 8)}^{3} + 25 {(- 8)}^{2} - 24 \cdot - 8 + 5 > 0$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $- 1275$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < \frac{1}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < \frac{1}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$6 {(0)}^{3} + 25 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 5 > 0$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $5$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.42$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $0.42$ dans l’inégalité d’origine.

$6 {(0.42)}^{3} + 25 {(0.42)}^{2} - 24 \cdot 0.42 + 5 > 0$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $- 0.225472$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 9.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 9.4.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$6 {(3)}^{3} + 25 {(3)}^{2} - 24 \cdot 3 + 5 > 0$

Étape 9.4.3

Le côté gauche $320$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < \frac{1}{3}$ Vrai

$\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$ Faux

$x > \frac{1}{2}$ Vrai

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < \frac{1}{3}$ Vrai

$\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$ Faux

$x > \frac{1}{2}$ Vrai

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 5 < x < \frac{1}{3}$ ou $x > \frac{1}{2}$

Étape 11

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 5, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Étape 12