Pré-calcul Exemples

$5 x^{2} + 17 x < 12$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$5 x^{2} + 17 x = 12$

Étape 2

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$5 x^{2} + 17 x - 12 = 0$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot - 12 = - 60$ et dont la somme est $b = 17$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $17$ à partir de $17 x$ .

$5 x^{2} + 17 (x) - 12 = 0$

Étape 3.1.2

Réécrivez $17$ comme $- 3$ plus $20$

$5 x^{2} + (- 3 + 20) x - 12 = 0$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} - 3 x + 20 x - 12 = 0$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(5 x^{2} - 3 x) + 20 x - 12 = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (5 x - 3) + 4 (5 x - 3) = 0$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 x - 3$ .

$(5 x - 3) (x + 4) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$5 x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 5

Définissez $5 x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $5 x - 3$ égal à $0$ .

$5 x - 3 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $5 x - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x = 3$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x = 3$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = 3$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{5}$

Étape 6

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(5 x - 3) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = \frac{3}{5}, - 4$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < \frac{3}{5}$

$x > \frac{3}{5}$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$5 {(- 6)}^{2} + 17 (- 6) < 12$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $78$ n’est pas inférieur au côté droit $12$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < \frac{3}{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < \frac{3}{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$5 {(0)}^{2} + 17 (0) < 12$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $12$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{3}{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{3}{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$5 {(3)}^{2} + 17 (3) < 12$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $96$ n’est pas inférieur au côté droit $12$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < \frac{3}{5}$ Vrai

$x > \frac{3}{5}$ Faux

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < \frac{3}{5}$ Vrai

$x > \frac{3}{5}$ Faux

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 4 < x < \frac{3}{5}$

Étape 11

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 4, \frac{3}{5})$

Étape 12