Pré-calcul Exemples

$(\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4})$

Étape 1

Pour déterminer le $\cos (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(\frac{3 π}{2}, 0)$ et $(\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4})$ .

Opposé : $\frac{7 π}{4}$

Adjacent : $\frac{3 π}{2}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 π}{2}$ .

$\sqrt{\frac{{(3 π)}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de produit à $3 π$ .

$\sqrt{\frac{3^{2} π^{2}}{2^{2}} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

Étape 2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{2^{2}} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

Étape 2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{7 π}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{{(7 π)}^{2}}{4^{2}}}$

Étape 2.4.2

Appliquez la règle de produit à $7 π$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{7^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

Étape 2.5

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{49 π^{2}}{4^{2}}}$

Étape 2.6

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

Étape 2.7

Pour écrire $\frac{9 π^{2}}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

Étape 2.8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.8.1

Multipliez $\frac{9 π^{2}}{4}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2} \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

Étape 2.8.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2} \cdot 4}{16} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

Étape 2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{9 π^{2} \cdot 4 + 49 π^{2}}{16}}$

Étape 2.10

Réécrivez $\frac{9 π^{2} \cdot 4 + 49 π^{2}}{16}$ en forme factorisée.

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Étape 2.10.1

Multipliez $4$ par $9$ .

$\sqrt{\frac{36 π^{2} + 49 π^{2}}{16}}$

Étape 2.10.2

Additionnez $36 π^{2}$ et $49 π^{2}$ .

$\sqrt{\frac{85 π^{2}}{16}}$

Étape 2.11

Réécrivez $\sqrt{\frac{85 π^{2}}{16}}$ comme $\frac{\sqrt{85 π^{2}}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{85 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

Étape 2.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.12.1

Remettez dans l’ordre $85$ et $π^{2}$ .

$\frac{\sqrt{π^{2} \cdot 85}}{\sqrt{16}}$

Étape 2.12.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{π \sqrt{85}}{\sqrt{16}}$

Étape 2.13

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.13.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{π \sqrt{85}}{\sqrt{4^{2}}}$

Étape 2.13.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{π \sqrt{85}}{4}$

Étape 3

$\cos (θ) = \frac{Adjacent}{Hypoténuse}$ donc $\cos (θ) = \frac{\frac{3 π}{2}}{\frac{π \sqrt{85}}{4}}$ .

$\frac{\frac{3 π}{2}}{\frac{π \sqrt{85}}{4}}$

Étape 4

Simplifiez $\cos (θ)$ .

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\cos (θ) = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{4}{π \sqrt{85}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $π$ à partir de $3 π$ .

$\cos (θ) = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{4}{π \sqrt{85}}$

Étape 4.2.2

Factorisez $π$ à partir de $π \sqrt{85}$ .

$\cos (θ) = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{4}{π (\sqrt{85})}$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{4}{π \sqrt{85}}$

Étape 4.2.4

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{85}}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\cos (θ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 (2)}{\sqrt{85}}$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{85}}$

Étape 4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = 3 (\frac{2}{\sqrt{85}})$

Étape 4.4

Associez $3$ et $\frac{2}{\sqrt{85}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{85}}$

Étape 4.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$\cos (θ) = \frac{6}{\sqrt{85}}$

Étape 4.6

Multipliez $\frac{6}{\sqrt{85}}$ par $\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$ .

$\cos (θ) = \frac{6}{\sqrt{85}} \cdot \frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$

Étape 4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.7.1

Multipliez $\frac{6}{\sqrt{85}}$ par $\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

Étape 4.7.2

Élevez $\sqrt{85}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

Étape 4.7.3

Élevez $\sqrt{85}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

Étape 4.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{1 + 1}}$

Étape 4.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{2}}$

Étape 4.7.6

Réécrivez ${\sqrt{85}}^{2}$ comme $85$ .

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Étape 4.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{85}$ comme $85^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{{(85^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85}$

Étape 4.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85} \approx 0.65079137$