Pré-calcul Exemples

${(\sqrt{3} + i)}^{5}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

${\sqrt{3}}^{5} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{5}$ comme $\sqrt{3^{5}}$ .

$\sqrt{3^{5}} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$\sqrt{243} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.3

Réécrivez $243$ comme $9^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.1.3.1

Factorisez $81$ à partir de $243$ .

$\sqrt{81 (3)} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.3.2

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$\sqrt{9^{2} \cdot 3} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$9 \sqrt{3} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 2.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$9 \sqrt{3} + 5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{4}{2}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.5.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.1.5.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.5.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2}{1}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.5.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{2} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 9 i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.7

Multipliez $5$ par $9$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.8

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{3^{3}} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.9

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{27} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.10

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.1.10.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{9 (3)} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.10.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 (3 \sqrt{3}) i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.12

Multipliez $3$ par $10$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.13

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} \cdot - 1 + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.14

Multipliez $- 1$ par $30$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.15

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.1.15.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.15.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.15.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.15.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.15.4.1

Annulez le facteur commun.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.15.4.2

Réécrivez l’expression.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{1} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.15.5

Évaluez l’exposant.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3 i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.16

Multipliez $10$ par $3$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.17

Factorisez $i^{2}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (i^{2} \cdot i) + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.18

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (- 1 \cdot i) + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.19

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (- i) + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.20

Multipliez $- 1$ par $30$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Étape 2.1.21

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.21.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} {(i^{2})}^{2} + i^{5}$

Étape 2.1.21.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + i^{5}$

Étape 2.1.21.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} \cdot 1 + i^{5}$

Étape 2.1.22

Multipliez $5$ par $1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i^{5}$

Étape 2.1.23

Factorisez $i^{4}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i^{4} i$

Étape 2.1.24

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.24.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + {(i^{2})}^{2} i$

Étape 2.1.24.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + {(- 1)}^{2} i$

Étape 2.1.24.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + 1 i$

Étape 2.1.25

Multipliez $i$ par $1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $30 \sqrt{3}$ de $9 \sqrt{3}$ .

$45 i - 21 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i$

Étape 2.2.2

Soustrayez $30 i$ de $45 i$ .

$15 i - 21 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3} + i$

Étape 2.2.3

Additionnez $15 i$ et $i$ .

$16 i - 21 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3}$

Étape 2.2.4

Additionnez $- 21 \sqrt{3}$ et $5 \sqrt{3}$ .

$16 i - 16 \sqrt{3}$

Étape 2.2.5

Remettez dans l’ordre $16 i$ et $- 16 \sqrt{3}$ .

$- 16 \sqrt{3} + 16 i$

Étape 3

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 4

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles de $a = - 16 \sqrt{3}$ et $b = 16$ .

$| z | = \sqrt{16^{2} + {(- 16 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 6

Déterminez $| z |$ .

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Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{256 + {(- 16 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 6.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 16 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{256 + {(- 16)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 6.1.3

Élevez $- 16$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{256 + 256 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 6.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 6.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{256 + 256 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3}$

Étape 6.2.5

Évaluez l’exposant.

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3}$

Étape 6.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.3.1

Multipliez $256$ par $3$ .

$| z | = \sqrt{256 + 768}$

Étape 6.3.2

Additionnez $256$ et $768$ .

$| z | = \sqrt{1024}$

Étape 6.3.3

Réécrivez $1024$ comme $32^{2}$ .

$| z | = \sqrt{32^{2}}$

Étape 6.3.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = 32$

Étape 7

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{16}{- 16 \sqrt{3}})$

Étape 8

Comme la tangente inverse de $\frac{16}{- 16 \sqrt{3}}$ produit un angle dans le deuxième quadrant, la valeur de l’angle est $\frac{5 π}{6}$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Étape 9

Remplacez les valeurs de $θ = \frac{5 π}{6}$ et $| z | = 32$ .

$32 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$