Pré-calcul Exemples

${(\sqrt{2} - i)}^{6}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

${\sqrt{2}}^{6} + 6 {\sqrt{2}}^{5} (- i) + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{6}$ comme $2^{3}$ .

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Étape 2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{6} + 6 {\sqrt{2}}^{5} (- i) + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 6} + 6 {\sqrt{2}}^{5} (- i) + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$2^{\frac{6}{2}} + 6 {\sqrt{2}}^{5} (- i) + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.1.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + 6 {\sqrt{2}}^{5} (- i) + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + 6 {\sqrt{2}}^{5} (- i) + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$2^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + 6 {\sqrt{2}}^{5} (- i) + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$2^{\frac{3}{1}} + 6 {\sqrt{2}}^{5} (- i) + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.1.4.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$2^{3} + 6 {\sqrt{2}}^{5} (- i) + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 + 6 {\sqrt{2}}^{5} (- i) + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{5}$ comme $\sqrt{2^{5}}$ .

$8 + 6 \sqrt{2^{5}} (- i) + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$8 + 6 \sqrt{32} (- i) + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.5

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.1.5.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$8 + 6 \sqrt{16 (2)} (- i) + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.5.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$8 + 6 \sqrt{4^{2} \cdot 2} (- i) + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$8 + 6 (4 \sqrt{2}) (- i) + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.7

Multipliez $4$ par $6$ .

$8 + 24 \sqrt{2} (- i) + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.8

Multipliez $- 1$ par $24$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.9

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{4}$ comme $2^{2}$ .

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Étape 2.1.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i + 15 {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i + 15 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i + 15 \cdot 2^{\frac{4}{2}} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.9.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.1.9.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i + 15 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.9.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.9.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i + 15 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.9.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$8 - 24 \sqrt{2} i + 15 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.9.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$8 - 24 \sqrt{2} i + 15 \cdot 2^{\frac{2}{1}} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.9.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i + 15 \cdot 2^{2} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i + 15 \cdot 4 {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.11

Multipliez $15$ par $4$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i + 60 {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.12

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i + 60 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.13

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i + 60 (1 i^{2}) + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.14

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i + 60 i^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.15

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i + 60 \cdot - 1 + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.16

Multipliez $60$ par $- 1$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.17

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 20 \sqrt{2^{3}} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.18

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 20 \sqrt{8} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.19

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.1.19.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 20 \sqrt{4 (2)} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.19.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 20 \sqrt{2^{2} \cdot 2} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.20

Extrayez les termes de sous le radical.

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 20 (2 \sqrt{2}) {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.21

Multipliez $2$ par $20$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.22

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} ({(- 1)}^{3} i^{3}) + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.23

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} (- i^{3}) + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.24

Factorisez $i^{2}$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} (- (i^{2} \cdot i)) + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.25

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} (- (- 1 \cdot i)) + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.26

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} (- - i) + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.27

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} (1 i) + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.28

Multipliez $i$ par $1$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.29

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.1.29.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 15 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.29.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 15 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.29.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 15 \cdot 2^{\frac{2}{2}} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.29.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.29.4.1

Annulez le facteur commun.

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 15 \cdot 2^{\frac{2}{2}} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.29.4.2

Réécrivez l’expression.

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 15 \cdot 2^{1} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.29.5

Évaluez l’exposant.

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 15 \cdot 2 {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.30

Multipliez $15$ par $2$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.31

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 ({(- 1)}^{4} i^{4}) + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.32

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 (1 i^{4}) + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.33

Multipliez $i^{4}$ par $1$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 i^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.34

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.34.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 {(i^{2})}^{2} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.34.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 {(- 1)}^{2} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.34.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 \cdot 1 + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.35

Multipliez $30$ par $1$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.36

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 + 6 \sqrt{2} ({(- 1)}^{5} i^{5}) + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.37

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 + 6 \sqrt{2} (- i^{5}) + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.38

Factorisez $i^{4}$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 + 6 \sqrt{2} (- (i^{4} i)) + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.39

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.39.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 + 6 \sqrt{2} (- ({(i^{2})}^{2} i)) + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.39.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 + 6 \sqrt{2} (- ({(- 1)}^{2} i)) + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.39.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 + 6 \sqrt{2} (- (1 i)) + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.40

Multipliez $i$ par $1$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 + 6 \sqrt{2} (- i) + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.41

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 - 6 \sqrt{2} i + {(- i)}^{6}$

Étape 2.1.42

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 - 6 \sqrt{2} i + {(- 1)}^{6} i^{6}$

Étape 2.1.43

Élevez $- 1$ à la puissance $6$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 - 6 \sqrt{2} i + 1 i^{6}$

Étape 2.1.44

Multipliez $i^{6}$ par $1$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 - 6 \sqrt{2} i + i^{6}$

Étape 2.1.45

Factorisez $i^{4}$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 - 6 \sqrt{2} i + i^{4} i^{2}$

Étape 2.1.46

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.46.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 - 6 \sqrt{2} i + {(i^{2})}^{2} i^{2}$

Étape 2.1.46.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 - 6 \sqrt{2} i + {(- 1)}^{2} i^{2}$

Étape 2.1.46.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 - 6 \sqrt{2} i + 1 i^{2}$

Étape 2.1.47

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 - 6 \sqrt{2} i + i^{2}$

Étape 2.1.48

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 - 6 \sqrt{2} i - 1$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $60$ de $8$ .

$- 24 \sqrt{2} i - 52 + 40 \sqrt{2} i + 30 - 6 \sqrt{2} i - 1$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 24 \sqrt{2} i$ et $40 \sqrt{2} i$ .

$16 \sqrt{2} i - 52 + 30 - 6 \sqrt{2} i - 1$

Étape 2.2.3

Soustrayez $6 \sqrt{2} i$ de $16 \sqrt{2} i$ .

$10 \sqrt{2} i - 52 + 30 - 1$

Étape 2.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.4.1

Additionnez $- 52$ et $30$ .

$10 \sqrt{2} i - 22 - 1$

Étape 2.2.4.2

Soustrayez $1$ de $- 22$ .

$10 \sqrt{2} i - 23$

Étape 2.2.4.3

Remettez dans l’ordre $10 \sqrt{2} i$ et $- 23$ .

$- 23 + 10 \sqrt{2} i$

Étape 3

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 4

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles de $a = - 23$ et $b = 10 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(10 \sqrt{2})}^{2} + {(- 23)}^{2}}$

Étape 6

Déterminez $| z |$ .

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Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1

Appliquez la règle de produit à $10 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{10^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(- 23)}^{2}}$

Étape 6.1.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{100 {\sqrt{2}}^{2} + {(- 23)}^{2}}$

Étape 6.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 6.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{100 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 23)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{100 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 23)}^{2}}$

Étape 6.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$| z | = \sqrt{100 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 23)}^{2}}$

Étape 6.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$| z | = \sqrt{100 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 23)}^{2}}$

Étape 6.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$| z | = \sqrt{100 \cdot 2 + {(- 23)}^{2}}$

Étape 6.2.5

Évaluez l’exposant.

$| z | = \sqrt{100 \cdot 2 + {(- 23)}^{2}}$

Étape 6.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.3.1

Multipliez $100$ par $2$ .

$| z | = \sqrt{200 + {(- 23)}^{2}}$

Étape 6.3.2

Élevez $- 23$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{200 + 529}$

Étape 6.3.3

Additionnez $200$ et $529$ .

$| z | = \sqrt{729}$

Étape 6.3.4

Réécrivez $729$ comme $27^{2}$ .

$| z | = \sqrt{27^{2}}$

Étape 6.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = 27$

Étape 7

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{10 \sqrt{2}}{- 23})$

Étape 8

Comme la tangente inverse de $\frac{10 \sqrt{2}}{- 23}$ produit un angle dans le deuxième quadrant, la valeur de l’angle est $2.59030705$ .

$θ = 2.59030705$

Étape 9

Remplacez les valeurs de $θ = 2.59030705$ et $| z | = 27$ .

$27 (\cos (2.59030705) + i \sin (2.59030705))$