Pré-calcul Exemples

$\cos (45 °)$

Étape 1

La valeur exacte de $\cos (45 °)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 3

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles de $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 5

Déterminez $| z |$ .

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Étape 5.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 5.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 5.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 5.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Étape 5.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 5.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{2^{2}}}$

Étape 5.2.5

Évaluez l’exposant.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{2^{2}}}$

Étape 5.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{4}}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 (1)}{4}}$

Étape 5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{2}}$

Étape 5.5

Additionnez $0$ et $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 5.6

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.7

Toute racine de $1$ est $1$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 5.8

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.9

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.9.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.9.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.9.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 5.9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 5.9.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.9.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.9.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.9.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.9.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.9.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.9.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5.9.6.5

Évaluez l’exposant.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 6

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Étape 7

Comme la tangente inverse de $\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ produit un angle dans le premier quadrant, la valeur de l’angle est $0$ .

$θ = 0$

Étape 8

Remplacez les valeurs de $θ = 0$ et $| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 (\cos (0) + i \sin (0))}$