Pré-calcul Exemples

${(3 (\cos (27 °) + i \sin (27 °)))}^{5}$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Évaluez $\cos (27 °)$ .

${(3 (0.89100652 + i \sin (27 °)))}^{5}$

Étape 1.1.2

Évaluez $\sin (27 °)$ .

${(3 (0.89100652 + i \cdot 0.45399049))}^{5}$

Étape 1.1.3

Déplacez $0.45399049$ à gauche de $i$ .

${(3 (0.89100652 + 0.45399049 i))}^{5}$

Étape 1.2

Simplifiez en multipliant.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

${(3 \cdot 0.89100652 + 3 (0.45399049 i))}^{5}$

Étape 1.2.2

Multipliez.

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Étape 1.2.2.1

Multipliez $3$ par $0.89100652$ .

${(2.67301957 + 3 (0.45399049 i))}^{5}$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $0.45399049$ par $3$ .

${(2.67301957 + 1.36197149 i)}^{5}$

Étape 2

Utilisez le théorème du binôme.

${2.67301957}^{5} + 5 \cdot {2.67301957}^{4} (1.36197149 i) + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Élevez $2.67301957$ à la puissance $5$ .

$136.46167381 + 5 \cdot {2.67301957}^{4} (1.36197149 i) + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Étape 3.1.2

Élevez $2.67301957$ à la puissance $4$ .

$136.46167381 + 5 \cdot 51.05150564 (1.36197149 i) + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Étape 3.1.3

Multipliez $5$ par $51.05150564$ .

$136.46167381 + 255.25752824 (1.36197149 i) + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Étape 3.1.4

Multipliez $1.36197149$ par $255.25752824$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Étape 3.1.5

Élevez $2.67301957$ à la puissance $3$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 10 \cdot 19.09881475 {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Étape 3.1.6

Multipliez $10$ par $19.09881475$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Étape 3.1.7

Appliquez la règle de produit à $1.36197149 i$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 ({1.36197149}^{2} i^{2}) + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Étape 3.1.8

Élevez $1.36197149$ à la puissance $2$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 (1.85496636 i^{2}) + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Étape 3.1.9

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 (1.85496636 \cdot - 1) + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Étape 3.1.10

Multipliez $190.98814753 (1.85496636 \cdot - 1)$ .

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Étape 3.1.10.1

Multipliez $1.85496636$ par $- 1$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 \cdot - 1.85496636 + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Étape 3.1.10.2

Multipliez $190.98814753$ par $- 1.85496636$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Étape 3.1.11

Élevez $2.67301957$ à la puissance $2$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 10 \cdot 7.14503363 {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Étape 3.1.12

Multipliez $10$ par $7.14503363$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Étape 3.1.13

Appliquez la règle de produit à $1.36197149 i$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 ({1.36197149}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Étape 3.1.14

Élevez $1.36197149$ à la puissance $3$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (2.52641132 i^{3}) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Étape 3.1.15

Factorisez $i^{2}$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (2.52641132 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Étape 3.1.16

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (2.52641132 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Étape 3.1.17

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (2.52641132 (- i)) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Étape 3.1.18

Multipliez $- 1$ par $2.52641132$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (- 2.52641132 i) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Étape 3.1.19

Multipliez $- 2.52641132$ par $71.45033635$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Étape 3.1.20

Multipliez $5$ par $2.67301957$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Étape 3.1.21

Appliquez la règle de produit à $1.36197149 i$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 ({1.36197149}^{4} i^{4}) + {(1.36197149 i)}^{5}$

Étape 3.1.22

Élevez $1.36197149$ à la puissance $4$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 (3.44090021 i^{4}) + {(1.36197149 i)}^{5}$

Étape 3.1.23

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 3.1.23.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 (3.44090021 {(i^{2})}^{2}) + {(1.36197149 i)}^{5}$

Étape 3.1.23.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 (3.44090021 {(- 1)}^{2}) + {(1.36197149 i)}^{5}$

Étape 3.1.23.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 (3.44090021 \cdot 1) + {(1.36197149 i)}^{5}$

Étape 3.1.24

Multipliez $13.36509786 (3.44090021 \cdot 1)$ .

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Étape 3.1.24.1

Multipliez $3.44090021$ par $1$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 \cdot 3.44090021 + {(1.36197149 i)}^{5}$

Étape 3.1.24.2

Multipliez $13.36509786$ par $3.44090021$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + {(1.36197149 i)}^{5}$

Étape 3.1.25

Appliquez la règle de produit à $1.36197149 i$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + {1.36197149}^{5} i^{5}$

Étape 3.1.26

Élevez $1.36197149$ à la puissance $5$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 i^{5}$

Étape 3.1.27

Factorisez $i^{4}$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 (i^{4} i)$

Étape 3.1.28

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 3.1.28.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 ({(i^{2})}^{2} i)$

Étape 3.1.28.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 ({(- 1)}^{2} i)$

Étape 3.1.28.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 (1 i)$

Étape 3.1.29

Multipliez $i$ par $1$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 i$

Étape 3.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $354.27658973$ de $136.46167381$ .

$- 217.81491592 + 347.65347843 i - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 i$

Étape 3.2.2

Additionnez $- 217.81491592$ et $45.98796809$ .

$- 171.82694782 + 347.65347843 i - 180.51293863 i + 4.68640802 i$

Étape 3.2.3

Soustrayez $180.51293863 i$ de $347.65347843 i$ .

$- 171.82694782 + 167.1405398 i + 4.68640802 i$

Étape 3.2.4

Additionnez $167.1405398 i$ et $4.68640802 i$ .

$- 171.82694782 + 171.82694782 i$

Étape 4

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 5

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 6

Remplacez les valeurs réelles de $a = - 171.82694782$ et $b = 171.82694782$ .

$| z | = \sqrt{{171.82694782}^{2} + {(- 171.82694782)}^{2}}$

Étape 7

Déterminez $| z |$ .

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Étape 7.1

Élevez $171.82694782$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{29524.4\overline{9} + {(- 171.82694782)}^{2}}$

Étape 7.2

Élevez $- 171.82694782$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{29524.4\overline{9} + 29524.4\overline{9}}$

Étape 7.3

Additionnez $29524.4\overline{9}$ et $29524.4\overline{9}$ .

$| z | = \sqrt{59048.\overline{9}}$

Étape 8

Évaluez la racine.

$| z | = 242.\overline{9}$

Étape 9

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{171.82694782}{- 171.82694782})$

Étape 10

La tangente inverse de $\frac{171.82694782}{- 171.82694782}$ est $- 0.78539816$ .

$θ = - 0.78539816$

Étape 11

Remplacez les valeurs de $θ = - 0.78539816$ et $| z | = 242.\overline{9}$ .

$242.\overline{9} (\cos (- 0.78539816) + i \sin (- 0.78539816))$