Pré-calcul Exemples

$(\frac{3}{5} (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Étape 1.3

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$(\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Étape 3

Multipliez $\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{3}{5}$ par $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{3}{5 \cdot 2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Étape 3.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Étape 4

Multipliez $\frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{3}{5}$ par $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 (i \sqrt{3})}{5 \cdot 2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Étape 4.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 (i \sqrt{3})}{10}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Évaluez $\cos (\frac{3 π}{5})$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 (- 0.30901699 + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Étape 5.1.2

Évaluez $\sin (\frac{3 π}{5})$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 (- 0.30901699 + i \cdot 0.95105651))$

Étape 5.1.3

Déplacez $0.95105651$ à gauche de $i$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 (- 0.30901699 + 0.95105651 i))$

Étape 5.2

Simplifiez en multipliant.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 \cdot - 0.30901699 + 5 (0.95105651 i))$

Étape 5.2.2

Multipliez.

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Étape 5.2.2.1

Multipliez $5$ par $- 0.30901699$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (- 1.54508497 + 5 (0.95105651 i))$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $0.95105651$ par $5$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$

Étape 6

Développez $(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3}{10} (- 1.54508497 + 4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Étape 7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Multipliez $\frac{3}{10} \cdot - 1.54508497$ .

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Étape 7.1.1.1

Associez $\frac{3}{10}$ et $- 1.54508497$ .

$\frac{3 \cdot - 1.54508497}{10} + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Étape 7.1.1.2

Multipliez $3$ par $- 1.54508497$ .

$\frac{- 4.63525491}{10} + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Étape 7.1.2

Divisez $- 4.63525491$ par $10$ .

$- 0.46352549 + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Étape 7.1.3

Multipliez $\frac{3}{10} (4.75528258 i)$ .

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Étape 7.1.3.1

Associez $4.75528258$ et $\frac{3}{10}$ .

$- 0.46352549 + \frac{4.75528258 \cdot 3}{10} i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Étape 7.1.3.2

Multipliez $4.75528258$ par $3$ .

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774}{10} i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Étape 7.1.3.3

Associez $\frac{14.26584774}{10}$ et $i$ .

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774 i}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Étape 7.1.4

Factorisez $14.26584774$ à partir de $14.26584774 i$ .

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774 (i)}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Étape 7.1.5

Factorisez $10$ à partir de $10$ .

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774 (i)}{10 (1)} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Étape 7.1.6

Séparez les fractions.

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774}{10} \cdot \frac{i}{1} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Étape 7.1.7

Divisez $14.26584774$ par $10$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 \frac{i}{1} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Étape 7.1.8

Divisez $i$ par $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Étape 7.1.9

Multipliez $\frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497$ .

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Étape 7.1.9.1

Associez $\frac{3 i \sqrt{3}}{10}$ et $- 1.54508497$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{3 i \sqrt{3} \cdot - 1.54508497}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Étape 7.1.9.2

Multipliez $- 1.54508497$ par $3$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{- 4.63525491 i \sqrt{3}}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Étape 7.1.9.3

Multipliez $\sqrt{3}$ par $- 4.63525491$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{- 8.02849701 i}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Étape 7.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - \frac{(8.02849701) i}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Étape 7.1.11

Factorisez $8.02849701$ à partir de $8.02849701 i$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - \frac{8.02849701 (i)}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Étape 7.1.12

Factorisez $10$ à partir de $10$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - \frac{8.02849701 (i)}{10 (1)} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Étape 7.1.13

Séparez les fractions.

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - (\frac{8.02849701}{10} \cdot \frac{i}{1}) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Étape 7.1.14

Divisez $8.02849701$ par $10$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - (0.8028497 \frac{i}{1}) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Étape 7.1.15

Divisez $i$ par $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - (0.8028497 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Étape 7.1.16

Multipliez $0.8028497$ par $- 1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Étape 7.1.17

Multipliez $\frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$ .

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Étape 7.1.17.1

Associez $4.75528258$ et $\frac{3 i \sqrt{3}}{10}$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{4.75528258 (3 i \sqrt{3})}{10} i$

Étape 7.1.17.2

Multipliez $3$ par $4.75528258$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{14.26584774 (i \sqrt{3})}{10} i$

Étape 7.1.17.3

Multipliez $\sqrt{3}$ par $14.26584774$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i}{10} i$

Étape 7.1.17.4

Associez $\frac{24.7091731 i}{10}$ et $i$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i i}{10}$

Étape 7.1.17.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 (i^{1} i)}{10}$

Étape 7.1.17.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 (i^{1} i^{1})}{10}$

Étape 7.1.17.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i^{1 + 1}}{10}$

Étape 7.1.17.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i^{2}}{10}$

Étape 7.1.18

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 \cdot - 1}{10}$

Étape 7.1.19

Multipliez $24.7091731$ par $- 1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{- 24.7091731}{10}$

Étape 7.1.20

Divisez $- 24.7091731$ par $10$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i - 2.47091731$

Étape 7.2

Soustrayez $2.47091731$ de $- 0.46352549$ .

$- 2.9344428 + 1.42658477 i - 0.8028497 i$

Étape 7.3

Soustrayez $0.8028497 i$ de $1.42658477 i$ .

$- 2.9344428 + 0.62373507 i$

Étape 8

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 9

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 10

Remplacez les valeurs réelles de $a = - 2.9344428$ et $b = 0.62373507$ .

$| z | = \sqrt{{0.62373507}^{2} + {(- 2.9344428)}^{2}}$

Étape 11

Déterminez $| z |$ .

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Étape 11.1

Élevez $0.62373507$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{0.38904544 + {(- 2.9344428)}^{2}}$

Étape 11.2

Élevez $- 2.9344428$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{0.38904544 + 8.61095455}$

Étape 11.3

Additionnez $0.38904544$ et $8.61095455$ .

$| z | = \sqrt{9}$

Étape 11.4

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$| z | = \sqrt{3^{2}}$

Étape 11.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = 3$

Étape 12

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{0.62373507}{- 2.9344428})$

Étape 13

Comme la tangente inverse de $\frac{0.62373507}{- 2.9344428}$ produit un angle dans le deuxième quadrant, la valeur de l’angle est $2.93215314$ .

$θ = 2.93215314$

Étape 14

Remplacez les valeurs de $θ = 2.93215314$ et $| z | = 3$ .

$3 (\cos (2.93215314) + i \sin (2.93215314))$