Pré-calcul Exemples

${(- 2 - 2 i)}^{4}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

${(- 2)}^{4} + 4 {(- 2)}^{3} (- 2 i) + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$16 + 4 {(- 2)}^{3} (- 2 i) + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Étape 2.1.2

Multipliez ${(- 2)}^{3}$ par $- 2$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.1

Déplacez $- 2$ .

$16 + 4 (- 2 {(- 2)}^{3}) i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Étape 2.1.2.2

Multipliez $- 2$ par ${(- 2)}^{3}$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $1$ .

$16 + 4 ({(- 2)}^{1} {(- 2)}^{3}) i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Étape 2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$16 + 4 {(- 2)}^{1 + 3} i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Étape 2.1.2.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$16 + 4 {(- 2)}^{4} i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Étape 2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$16 + 4 \cdot 16 i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Étape 2.1.4

Multipliez $4$ par $16$ .

$16 + 64 i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Étape 2.1.5

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$16 + 64 i + 6 \cdot 4 {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Étape 2.1.6

Multipliez $6$ par $4$ .

$16 + 64 i + 24 {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Étape 2.1.7

Appliquez la règle de produit à $- 2 i$ .

$16 + 64 i + 24 ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Étape 2.1.8

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$16 + 64 i + 24 (4 i^{2}) + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Étape 2.1.9

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$16 + 64 i + 24 (4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Étape 2.1.10

Multipliez $24 (4 \cdot - 1)$ .

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Étape 2.1.10.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$16 + 64 i + 24 \cdot - 4 + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Étape 2.1.10.2

Multipliez $24$ par $- 4$ .

$16 + 64 i - 96 + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Étape 2.1.11

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Étape 2.1.12

Appliquez la règle de produit à $- 2 i$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 ({(- 2)}^{3} i^{3}) + {(- 2 i)}^{4}$

Étape 2.1.13

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 i^{3}) + {(- 2 i)}^{4}$

Étape 2.1.14

Factorisez $i^{2}$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 (i^{2} \cdot i)) + {(- 2 i)}^{4}$

Étape 2.1.15

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 (- 1 \cdot i)) + {(- 2 i)}^{4}$

Étape 2.1.16

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 (- i)) + {(- 2 i)}^{4}$

Étape 2.1.17

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (8 i) + {(- 2 i)}^{4}$

Étape 2.1.18

Multipliez $8$ par $- 8$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + {(- 2 i)}^{4}$

Étape 2.1.19

Appliquez la règle de produit à $- 2 i$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + {(- 2)}^{4} i^{4}$

Étape 2.1.20

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 i^{4}$

Étape 2.1.21

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.21.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 {(i^{2})}^{2}$

Étape 2.1.21.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 {(- 1)}^{2}$

Étape 2.1.21.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 \cdot 1$

Étape 2.1.22

Multipliez $16$ par $1$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $96$ de $16$ .

$- 80 + 64 i - 64 i + 16$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 80$ et $16$ .

$- 64 + 64 i - 64 i$

Étape 2.2.3

Soustrayez $64 i$ de $64 i$ .

$- 64 + 0$

Étape 2.2.4

Additionnez $- 64$ et $0$ .

$- 64$

Étape 3

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 4

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles de $a = - 64$ et $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 64)}^{2}}$

Étape 6

Déterminez $| z |$ .

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Étape 6.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 64)}^{2}}$

Étape 6.2

Élevez $- 64$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 4096}$

Étape 6.3

Additionnez $0$ et $4096$ .

$| z | = \sqrt{4096}$

Étape 6.4

Réécrivez $4096$ comme $64^{2}$ .

$| z | = \sqrt{64^{2}}$

Étape 6.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = 64$

Étape 7

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 64})$

Étape 8

Comme la tangente inverse de $\frac{0}{- 64}$ produit un angle dans le deuxième quadrant, la valeur de l’angle est $π$ .

$θ = π$

Étape 9

Remplacez les valeurs de $θ = π$ et $| z | = 64$ .

$64 (\cos (π) + i \sin (π))$