Pré-calcul Exemples

$\frac{2 π}{3}$

Étape 1

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 2

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a = \frac{2 π}{3}$ et $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

Étape 4

Déterminez $| z |$ .

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Étape 4.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

Étape 4.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 π}{3}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(2 π)}^{2}}{3^{2}}}$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de produit à $2 π$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

Étape 4.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{4 π^{2}}{3^{2}}}$

Étape 4.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{4 π^{2}}{9}}$

Étape 4.5

Additionnez $0$ et $\frac{4 π^{2}}{9}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{4 π^{2}}{9}}$

Étape 4.6

Réécrivez $\sqrt{\frac{4 π^{2}}{9}}$ comme $\frac{\sqrt{4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1

Réécrivez $4 π^{2}$ comme ${(2 π)}^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{{(2 π)}^{2}}}{\sqrt{9}}$

Étape 4.7.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = \frac{2 π}{\sqrt{9}}$

Étape 4.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.8.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$| z | = \frac{2 π}{\sqrt{3^{2}}}$

Étape 4.8.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = \frac{2 π}{3}$

Étape 5

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{2 π}{3}})$

Étape 6

Remplacez les valeurs de $θ = \arctan (\frac{0}{\frac{2 π}{3}})$ et $| z | = \frac{2 π}{3}$ .

$\frac{2 π}{3 (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{2 π}{3}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{2 π}{3}})))}$