Pré-calcul Exemples

$\frac{6 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

Étape 1

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 1.1

Factorisez $3$ à partir de $6 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))$ .

$\frac{3 (2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

Étape 1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{\cos (2 π) + i \sin (2 π)}$

Étape 2

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{10 i}$ par le conjugué de $10 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{10 i} \cdot \frac{1 + 0 i}{1 + 0 i}$

Étape 3

Multipliez.

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Étape 3.1

Associez.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{2 (\cos (π) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Étape 3.2.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{2 (- \cos (0) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Étape 3.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot 1 + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 (- 1 + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Étape 3.2.1.5

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{2 (- 1 + i \sin (π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Étape 3.2.1.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{2 (- 1 + i \sin (0)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Étape 3.2.1.7

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{2 (- 1 + i \cdot 0) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Étape 3.2.1.8

Multipliez $i$ par $0$ .

$\frac{2 (- 1 + 0) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Étape 3.2.2

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$\frac{2 \cdot - 1 (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Étape 3.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 \cdot 1 - 2 (0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Étape 3.2.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{- 2 - 2 (0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Étape 3.2.6

Multipliez $0$ par $- 2$ .

$\frac{- 20 i}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Étape 3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1

Développez $(10 i) (1 + 0 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 20 i}{1 (1 + 0 i) 0 i (1 + 0 i)}$

Étape 3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 20 i}{1 \cdot 1 + 1 (0 i) 0 i (1 + 0 i)}$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 20 i}{1 \cdot 1 + 1 (0 i) 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

Étape 3.3.2

Simplifiez

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 1 (0 i) 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i 0 i (0 i)}$

Étape 3.3.2.4

Multipliez $0$ par $0$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i i}$

Étape 3.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 (i^{1} i)}$

Étape 3.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 (i^{1} i^{1})}$

Étape 3.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i^{1 + 1}}$

Étape 3.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i^{2}}$

Étape 3.3.2.9

Multipliez $0$ par $i^{2}$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0}$

Étape 3.3.2.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i}$

Étape 3.3.2.11

Soustrayez $0 i$ de $0 i$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i}$

Étape 3.3.3

Multipliez $0$ par $i$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0}$

Étape 3.3.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- 20 i}{1}$

Étape 4

Divisez $- 20 i$ par $1$ .

$- 20 i$

Étape 5

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 6

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 7

Remplacez les valeurs réelles de $a = - 2$ et $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{{(0)}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Étape 8

Déterminez $| z |$ .

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Étape 8.1

Élevez $0$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 2)}^{2}}$

Étape 8.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 4}$

Étape 8.3

Additionnez $0$ et $4$ .

$| z | = \sqrt{4}$

Étape 8.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Étape 8.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = 2$

Étape 9

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 2})$

Étape 10

Comme la tangente inverse de $\frac{0}{- 2}$ produit un angle dans le troisième quadrant, la valeur de l’angle est $3.14159265$ .

$θ = 3.14159265$

Étape 11

Remplacez les valeurs de $θ = 3.14159265$ et $| z | = 2$ .

$2 (\cos (3.14159265) + i \sin (3.14159265))$