Pré-calcul Exemples

$(5 + 5 i) (8 (\cos (\frac{3 π}{7}) + i \sin (\frac{3 π}{7})))$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Évaluez $\cos (\frac{3 π}{7})$ .

$(5 + 5 i) (8 (0.22252093 + i \sin (\frac{3 π}{7})))$

Étape 1.1.2

Évaluez $\sin (\frac{3 π}{7})$ .

$(5 + 5 i) (8 (0.22252093 + i \cdot 0.97492791))$

Étape 1.1.3

Déplacez $0.97492791$ à gauche de $i$ .

$(5 + 5 i) (8 (0.22252093 + 0.97492791 i))$

Étape 1.2

Simplifiez en multipliant.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$(5 + 5 i) (8 \cdot 0.22252093 + 8 (0.97492791 i))$

Étape 1.2.2

Multipliez.

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Étape 1.2.2.1

Multipliez $8$ par $0.22252093$ .

$(5 + 5 i) (1.78016747 + 8 (0.97492791 i))$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $0.97492791$ par $8$ .

$(5 + 5 i) (1.78016747 + 7.79942329 i)$

Étape 2

Développez $(5 + 5 i) (1.78016747 + 7.79942329 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (1.78016747 + 7.79942329 i) + 5 i (1.78016747 + 7.79942329 i)$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 \cdot 1.78016747 + 5 (7.79942329 i) + 5 i (1.78016747 + 7.79942329 i)$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 \cdot 1.78016747 + 5 (7.79942329 i) + 5 i \cdot 1.78016747 + 5 i (7.79942329 i)$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $5$ par $1.78016747$ .

$8.90083735 + 5 (7.79942329 i) + 5 i \cdot 1.78016747 + 5 i (7.79942329 i)$

Étape 3.1.2

Multipliez $7.79942329$ par $5$ .

$8.90083735 + 38.99711648 i + 5 i \cdot 1.78016747 + 5 i (7.79942329 i)$

Étape 3.1.3

Multipliez $1.78016747$ par $5$ .

$8.90083735 + 38.99711648 i + 8.90083735 i + 5 i (7.79942329 i)$

Étape 3.1.4

Multipliez $5 i (7.79942329 i)$ .

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $7.79942329$ par $5$ .

$8.90083735 + 38.99711648 i + 8.90083735 i + 38.99711648 i i$

Étape 3.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$8.90083735 + 38.99711648 i + 8.90083735 i + 38.99711648 (i^{1} i)$

Étape 3.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$8.90083735 + 38.99711648 i + 8.90083735 i + 38.99711648 (i^{1} i^{1})$

Étape 3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8.90083735 + 38.99711648 i + 8.90083735 i + 38.99711648 i^{1 + 1}$

Étape 3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$8.90083735 + 38.99711648 i + 8.90083735 i + 38.99711648 i^{2}$

Étape 3.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$8.90083735 + 38.99711648 i + 8.90083735 i + 38.99711648 \cdot - 1$

Étape 3.1.6

Multipliez $38.99711648$ par $- 1$ .

$8.90083735 + 38.99711648 i + 8.90083735 i - 38.99711648$

Étape 3.2

Soustrayez $38.99711648$ de $8.90083735$ .

$- 30.09627912 + 38.99711648 i + 8.90083735 i$

Étape 3.3

Additionnez $38.99711648 i$ et $8.90083735 i$ .

$- 30.09627912 + 47.89795384 i$

Étape 4

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 5

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 6

Remplacez les valeurs réelles de $a = - 30.09627912$ et $b = 47.89795384$ .

$| z | = \sqrt{{47.89795384}^{2} + {(- 30.09627912)}^{2}}$

Étape 7

Déterminez $| z |$ .

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Étape 7.1

Élevez $47.89795384$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{2294.21398258 + {(- 30.09627912)}^{2}}$

Étape 7.2

Élevez $- 30.09627912$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{2294.21398258 + 905.78601741}$

Étape 7.3

Additionnez $2294.21398258$ et $905.78601741$ .

$| z | = \sqrt{3199.\overline{9}}$

Étape 8

Évaluez la racine.

$| z | = 56.56854249$

Étape 9

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{47.89795384}{- 30.09627912})$

Étape 10

Comme la tangente inverse de $\frac{47.89795384}{- 30.09627912}$ produit un angle dans le deuxième quadrant, la valeur de l’angle est $2.13179501$ .

$θ = 2.13179501$

Étape 11

Remplacez les valeurs de $θ = 2.13179501$ et $| z | = 56.56854249$ .

$56.56854249 (\cos (2.13179501) + i \sin (2.13179501))$