Pré-calcul Exemples

$5 (\cos (15 °) + i \sin (15 °)) \cdot 3 (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

La valeur exacte de $\cos (15 °)$ est $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.1.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$5 (\cos (45 - 30) + i \sin (15 °)) \cdot 3 (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 1.1.2

Séparez la négation.

$5 (\cos (45 - (30)) + i \sin (15 °)) \cdot 3 (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 1.1.3

Appliquez l’identité de différence d’angles $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$5 (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30) + i \sin (15 °)) \cdot 3 (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 1.1.4

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$5 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30) + i \sin (15 °)) \cdot 3 (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 1.1.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$5 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30) + i \sin (15 °)) \cdot 3 (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 1.1.6

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$5 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30) + i \sin (15 °)) \cdot 3 (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 1.1.7

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15 °)) \cdot 3 (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 1.1.8

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.1.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$5 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15 °)) \cdot 3 (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 1.1.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$5 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15 °)) \cdot 3 (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 1.1.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$5 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15 °)) \cdot 3 (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 1.1.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$5 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15 °)) \cdot 3 (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 1.1.8.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.8.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + i \sin (15 °)) \cdot 3 (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 1.1.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$5 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + i \sin (15 °)) \cdot 3 (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 1.1.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \sin (15 °)) \cdot 3 (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\sin (15 °)$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.2.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \sin (45 - 30)) \cdot 3 (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 1.2.2

Séparez la négation.

$5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \sin (45 - (30))) \cdot 3 (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 1.2.3

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30))) \cdot 3 (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 1.2.4

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30))) \cdot 3 (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 1.2.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30))) \cdot 3 (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 1.2.6

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))) \cdot 3 (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 1.2.7

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})) \cdot 3 (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 1.2.8

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.2.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})) \cdot 3 (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 1.2.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})) \cdot 3 (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 1.2.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})) \cdot 3 (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 1.2.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})) \cdot 3 (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 1.2.8.1.2

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.2.8.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})) \cdot 3 (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 1.2.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})) \cdot 3 (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 1.2.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}) \cdot 3 (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 1.3

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{i (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}) \cdot 3 (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}}{4} \cdot 3 (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 2.2

Associez $5$ et $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{5 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4} \cdot 3 (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 3

Multipliez $\frac{5 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4} \cdot 3$ .

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Étape 3.1

Associez $\frac{5 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4}$ et $3$ .

$\frac{5 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}) \cdot 3}{4} (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 3.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{15 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4} (\cos (70 °) + i \sin (70 °))$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Évaluez $\cos (70 °)$ .

$\frac{15 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4} (0.34202014 + i \sin (70 °))$

Étape 4.2

Évaluez $\sin (70 °)$ .

$\frac{15 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4} (0.34202014 + i \cdot 0.93969262)$

Étape 4.3

Déplacez $0.93969262$ à gauche de $i$ .

$\frac{15 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4} (0.34202014 + 0.93969262 i)$

Étape 5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{15 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4} \cdot 0.34202014 + \frac{15 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4} (0.93969262 i)$

Étape 6

Multipliez $\frac{15 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4} \cdot 0.34202014$ .

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Étape 6.1

Associez $\frac{15 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4}$ et $0.34202014$ .

$\frac{15 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}) \cdot 0.34202014}{4} + \frac{15 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4} (0.93969262 i)$

Étape 6.2

Multipliez $0.34202014$ par $15$ .

$\frac{5.13030214 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4} + \frac{15 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4} (0.93969262 i)$

Étape 7

Multipliez $\frac{15 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4} (0.93969262 i)$ .

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Étape 7.1

Associez $0.93969262$ et $\frac{15 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4}$ .

$\frac{5.13030214 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4} + \frac{0.93969262 (15 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}))}{4} i$

Étape 7.2

Multipliez $15$ par $0.93969262$ .

$\frac{5.13030214 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4} + \frac{14.09538931 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4} i$

Étape 7.3

Associez $\frac{14.09538931 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4}$ et $i$ .

$\frac{5.13030214 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4} + \frac{14.09538931 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}) i}{4}$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5.13030214 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}) + 14.09538931 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}) i}{4}$

Étape 9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5.13030214 \sqrt{6} + 5.13030214 \sqrt{2} + 5.13030214 (i \sqrt{6}) + 5.13030214 (- i \sqrt{2}) + 14.09538931 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}) i}{4}$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Multipliez $5.13030214$ par $\sqrt{6}$ .

$\frac{12.56662249 + 5.13030214 \sqrt{2} + 5.13030214 (i \sqrt{6}) + 5.13030214 (- i \sqrt{2}) + 14.09538931 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}) i}{4}$

Étape 9.2.2

Multipliez $5.13030214$ par $\sqrt{2}$ .

$\frac{12.56662249 + 7.25534287 + 5.13030214 (i \sqrt{6}) + 5.13030214 (- i \sqrt{2}) + 14.09538931 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}) i}{4}$

Étape 9.2.3

Multipliez $\sqrt{6}$ par $5.13030214$ .

$\frac{12.56662249 + 7.25534287 + 12.56662249 i + 5.13030214 (- i \sqrt{2}) + 14.09538931 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}) i}{4}$

Étape 9.2.4

Multipliez $5.13030214 (- i \sqrt{2})$ .

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Étape 9.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $5.13030214$ .

$\frac{12.56662249 + 7.25534287 + 12.56662249 i - 5.13030214 (i \sqrt{2}) + 14.09538931 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}) i}{4}$

Étape 9.2.4.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $- 5.13030214$ .

$\frac{12.56662249 + 7.25534287 + 12.56662249 i - 7.25534287 i + 14.09538931 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}) i}{4}$

Étape 9.3

Additionnez $12.56662249$ et $7.25534287$ .

$\frac{19.82196537 + 12.56662249 i - 7.25534287 i + 14.09538931 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}) i}{4}$

Étape 9.4

Soustrayez $7.25534287 i$ de $12.56662249 i$ .

$\frac{19.82196537 + 5.31127961 i + 14.09538931 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}) i}{4}$

Étape 9.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{19.82196537 + 5.31127961 i + (14.09538931 \sqrt{6} + 14.09538931 \sqrt{2} + 14.09538931 (i \sqrt{6}) + 14.09538931 (- i \sqrt{2})) i}{4}$

Étape 9.6

Simplifiez

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Étape 9.6.1

Multipliez $14.09538931$ par $\sqrt{6}$ .

$\frac{19.82196537 + 5.31127961 i + (34.52651153 + 14.09538931 \sqrt{2} + 14.09538931 (i \sqrt{6}) + 14.09538931 (- i \sqrt{2})) i}{4}$

Étape 9.6.2

Multipliez $14.09538931$ par $\sqrt{2}$ .

$\frac{19.82196537 + 5.31127961 i + (34.52651153 + 19.93389073 + 14.09538931 (i \sqrt{6}) + 14.09538931 (- i \sqrt{2})) i}{4}$

Étape 9.6.3

Multipliez $\sqrt{6}$ par $14.09538931$ .

$\frac{19.82196537 + 5.31127961 i + (34.52651153 + 19.93389073 + 34.52651153 i + 14.09538931 (- i \sqrt{2})) i}{4}$

Étape 9.6.4

Multipliez $14.09538931 (- i \sqrt{2})$ .

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Étape 9.6.4.1

Multipliez $- 1$ par $14.09538931$ .

$\frac{19.82196537 + 5.31127961 i + (34.52651153 + 19.93389073 + 34.52651153 i - 14.09538931 (i \sqrt{2})) i}{4}$

Étape 9.6.4.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $- 14.09538931$ .

$\frac{19.82196537 + 5.31127961 i + (34.52651153 + 19.93389073 + 34.52651153 i - 19.93389073 i) i}{4}$

Étape 9.7

Additionnez $34.52651153$ et $19.93389073$ .

$\frac{19.82196537 + 5.31127961 i + (54.46040227 + 34.52651153 i - 19.93389073 i) i}{4}$

Étape 9.8

Soustrayez $19.93389073 i$ de $34.52651153 i$ .

$\frac{19.82196537 + 5.31127961 i + (54.46040227 + 14.5926208 i) i}{4}$

Étape 9.9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{19.82196537 + 5.31127961 i + 54.46040227 i + 14.5926208 i i}{4}$

Étape 9.10

Multipliez $14.5926208 i i$ .

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Étape 9.10.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{19.82196537 + 5.31127961 i + 54.46040227 i + 14.5926208 (i^{1} i)}{4}$

Étape 9.10.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{19.82196537 + 5.31127961 i + 54.46040227 i + 14.5926208 (i^{1} i^{1})}{4}$

Étape 9.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{19.82196537 + 5.31127961 i + 54.46040227 i + 14.5926208 i^{1 + 1}}{4}$

Étape 9.10.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{19.82196537 + 5.31127961 i + 54.46040227 i + 14.5926208 i^{2}}{4}$

Étape 9.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.11.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{19.82196537 + 5.31127961 i + 54.46040227 i + 14.5926208 \cdot - 1}{4}$

Étape 9.11.2

Multipliez $14.5926208$ par $- 1$ .

$\frac{19.82196537 + 5.31127961 i + 54.46040227 i - 14.5926208}{4}$

Étape 10

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 10.1

Soustrayez $14.5926208$ de $19.82196537$ .

$\frac{5.22934456 + 5.31127961 i + 54.46040227 i}{4}$

Étape 10.2

Additionnez $5.31127961 i$ et $54.46040227 i$ .

$\frac{5.22934456 + 59.77168188 i}{4}$

Étape 11

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 12

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 13

Remplacez les valeurs réelles de $a = 0$ et $b = \frac{1}{4}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2}}$

Étape 14

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = \frac{1}{4}$

Étape 15

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{\frac{1}{4}}{0})$

Étape 16

Comme l’argument est indéfini et $b$ est positif, l’angle du point sur le plan complexe est $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Étape 17

Remplacez les valeurs de $θ = \frac{π}{2}$ et $| z | = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))}$