Pré-calcul Exemples

$5 (\cos (25 °) + i \sin (25 °)) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Évaluez $\cos (25 °)$ .

$5 (0.90630778 + i \sin (25 °)) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Étape 1.1.2

Évaluez $\sin (25 °)$ .

$5 (0.90630778 + i \cdot 0.42261826) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Étape 1.1.3

Déplacez $0.42261826$ à gauche de $i$ .

$5 (0.90630778 + 0.42261826 i) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Étape 1.2

Simplifiez en multipliant.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$(5 \cdot 0.90630778 + 5 (0.42261826 i)) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Étape 1.2.2

Multipliez.

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Étape 1.2.2.1

Multipliez $5$ par $0.90630778$ .

$(4.53153893 + 5 (0.42261826 i)) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $0.42261826$ par $5$ .

$(4.53153893 + 2.1130913 i) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(4.53153893 \cdot 2 + 2.1130913 i \cdot 2) (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Étape 1.2.4

Multipliez.

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Étape 1.2.4.1

Multipliez $4.53153893$ par $2$ .

$(9.06307787 + 2.1130913 i \cdot 2) (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $2$ par $2.1130913$ .

$(9.06307787 + 4.22618261 i) (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Étape 1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1

Évaluez $\cos (80 °)$ .

$(9.06307787 + 4.22618261 i) (0.17364817 + i \sin (80 °))$

Étape 1.3.2

Évaluez $\sin (80 °)$ .

$(9.06307787 + 4.22618261 i) (0.17364817 + i \cdot 0.98480775)$

Étape 1.3.3

Déplacez $0.98480775$ à gauche de $i$ .

$(9.06307787 + 4.22618261 i) (0.17364817 + 0.98480775 i)$

Étape 2

Développez $(9.06307787 + 4.22618261 i) (0.17364817 + 0.98480775 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$9.06307787 (0.17364817 + 0.98480775 i) + 4.22618261 i (0.17364817 + 0.98480775 i)$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$9.06307787 \cdot 0.17364817 + 9.06307787 (0.98480775 i) + 4.22618261 i (0.17364817 + 0.98480775 i)$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$9.06307787 \cdot 0.17364817 + 9.06307787 (0.98480775 i) + 4.22618261 i \cdot 0.17364817 + 4.22618261 i (0.98480775 i)$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $9.06307787$ par $0.17364817$ .

$1.57378695 + 9.06307787 (0.98480775 i) + 4.22618261 i \cdot 0.17364817 + 4.22618261 i (0.98480775 i)$

Étape 3.1.2

Multipliez $0.98480775$ par $9.06307787$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 4.22618261 i \cdot 0.17364817 + 4.22618261 i (0.98480775 i)$

Étape 3.1.3

Multipliez $0.17364817$ par $4.22618261$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.22618261 i (0.98480775 i)$

Étape 3.1.4

Multipliez $4.22618261 i (0.98480775 i)$ .

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $0.98480775$ par $4.22618261$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.1619774 i i$

Étape 3.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.1619774 (i^{1} i)$

Étape 3.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.1619774 (i^{1} i^{1})$

Étape 3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.1619774 i^{1 + 1}$

Étape 3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.1619774 i^{2}$

Étape 3.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.1619774 \cdot - 1$

Étape 3.1.6

Multipliez $4.1619774$ par $- 1$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i - 4.1619774$

Étape 3.2

Soustrayez $4.1619774$ de $1.57378695$ .

$- 2.58819045 + 8.92538935 i + 0.73386891 i$

Étape 3.3

Additionnez $8.92538935 i$ et $0.73386891 i$ .

$- 2.58819045 + 9.65925826 i$

Étape 4

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 5

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 6

Remplacez les valeurs réelles de $a = - 2.58819045$ et $b = 9.65925826$ .

$| z | = \sqrt{{9.65925826}^{2} + {(- 2.58819045)}^{2}}$

Étape 7

Déterminez $| z |$ .

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Étape 7.1

Élevez $9.65925826$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{93.30127018 + {(- 2.58819045)}^{2}}$

Étape 7.2

Élevez $- 2.58819045$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{93.30127018 + 6.69872981}$

Étape 7.3

Additionnez $93.30127018$ et $6.69872981$ .

$| z | = \sqrt{100}$

Étape 7.4

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$| z | = \sqrt{10^{2}}$

Étape 7.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = 10$

Étape 8

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{9.65925826}{- 2.58819045})$

Étape 9

La tangente inverse de $\frac{9.65925826}{- 2.58819045}$ est $- 1.30899693$ .

$θ = - 1.30899693$

Étape 10

Remplacez les valeurs de $θ = - 1.30899693$ et $| z | = 10$ .

$10 (\cos (- 1.30899693) + i \sin (- 1.30899693))$