Pré-calcul Exemples

$\frac{x + 4}{2 x - 1} > 3$

Étape 1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} - 3 > 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x + 4}{2 x - 1} - 3$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{x + 4}{2 x - 1} - 3 \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} > 0$

Étape 2.2

Associez $- 3$ et $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{x + 4}{2 x - 1} + \frac{- 3 (2 x - 1)}{2 x - 1} > 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + 4 - 3 (2 x - 1)}{2 x - 1} > 0$

Étape 2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 4 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1}{2 x - 1} > 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{x + 4 - 6 x - 3 \cdot - 1}{2 x - 1} > 0$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{x + 4 - 6 x + 3}{2 x - 1} > 0$

Étape 2.4.4

Soustrayez $6 x$ de $x$ .

$\frac{- 5 x + 4 + 3}{2 x - 1} > 0$

Étape 2.4.5

Additionnez $4$ et $3$ .

$\frac{- 5 x + 7}{2 x - 1} > 0$

Étape 2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x$ .

$\frac{- (5 x) + 7}{2 x - 1} > 0$

Étape 2.6

Réécrivez $7$ comme $- 1 (- 7)$ .

$\frac{- (5 x) - 1 (- 7)}{2 x - 1} > 0$

Étape 2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x) - 1 (- 7)$ .

$\frac{- (5 x - 7)}{2 x - 1} > 0$

Étape 2.8

Réécrivez $- (5 x - 7)$ comme $- 1 (5 x - 7)$ .

$\frac{- 1 (5 x - 7)}{2 x - 1} > 0$

Étape 2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 x - 7}{2 x - 1} > 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$5 x - 7 = 0$

$2 x - 1 = 0$

Étape 4

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x = 7$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $5 x = 7$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $5 x = 7$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{7}{5}$

Étape 6

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = \frac{7}{5}$

$x = \frac{1}{2}$

Étape 9

Consolidez les solutions.

$x = \frac{7}{5}, \frac{1}{2}$

Étape 10

Déterminez le domaine de $- \frac{5 x - 7}{2 x - 1}$ .

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Étape 10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{5 x - 7}{2 x - 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 x - 1 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $x$ .

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Étape 10.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 10.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 10.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 10.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 10.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$

$x > \frac{7}{5}$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(0) + 4}{2 (0) - 1} > 3$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $- 4$ n’est pas supérieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(1) + 4}{2 (1) - 1} > 3$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $5$ est supérieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{7}{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{7}{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(4) + 4}{2 (4) - 1} > 3$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $1.\overline{142857}$ n’est pas supérieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 12.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{1}{2}$ Faux

$\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$ Vrai

$x > \frac{7}{5}$ Faux

$x < \frac{1}{2}$ Faux

$\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$ Vrai

$x > \frac{7}{5}$ Faux

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$

Étape 14

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(\frac{1}{2}, \frac{7}{5})$

Étape 15