Pré-calcul Exemples

$\frac{x}{x^{2} + 2 x - 6} \leq 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x = 0$

$x^{2} + 2 x - 6 = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = - 6$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Additionnez $4$ et $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $28$ comme $2^{2} \cdot 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Additionnez $4$ et $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4

Réécrivez $28$ comme $2^{2} \cdot 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Étape 5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{7}$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.3

Additionnez $4$ et $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $28$ comme $2^{2} \cdot 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Étape 6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{7}$

Étape 7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

Étape 8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

Étape 9

Consolidez les solutions.

$x = 0, - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

Étape 10

Déterminez le domaine de $\frac{x}{x^{2} + 2 x - 6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x}{x^{2} + 2 x - 6}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} + 2 x - 6 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 10.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = - 6$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.3.1.3

Additionnez $4$ et $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.3.1.4

Réécrivez $28$ comme $2^{2} \cdot 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Étape 10.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Étape 10.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.4.1.3

Additionnez $4$ et $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.4.1.4

Réécrivez $28$ comme $2^{2} \cdot 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Étape 10.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Étape 10.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{7}$

Étape 10.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.5.1.3

Additionnez $4$ et $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.5.1.4

Réécrivez $28$ comme $2^{2} \cdot 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Étape 10.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Étape 10.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{7}$

Étape 10.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

Étape 10.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 1 - \sqrt{7}) \cup (- 1 - \sqrt{7}, - 1 + \sqrt{7}) \cup (- 1 + \sqrt{7}, \infty)$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1 - \sqrt{7}$

$- 1 - \sqrt{7} < x < 0$

$0 < x < - 1 + \sqrt{7}$

$x > - 1 + \sqrt{7}$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1 - \sqrt{7}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1 - \sqrt{7}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{- 6}{{(- 6)}^{2} + 2 (- 6) - 6} \leq 0$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $- 0.\overline{3}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{- 2}{{(- 2)}^{2} + 2 (- 2) - 6} \leq 0$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $0.\overline{3}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{{(1)}^{2} + 2 (1) - 6} \leq 0$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $- 0.\overline{3}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - 1 + \sqrt{7}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - 1 + \sqrt{7}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 12.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4}{{(4)}^{2} + 2 (4) - 6} \leq 0$

Étape 12.4.3

Le côté gauche $0.\overline{2}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1 - \sqrt{7}$ Vrai

$- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ Faux

$0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ Vrai

$x > - 1 + \sqrt{7}$ Faux

$x < - 1 - \sqrt{7}$ Vrai

$- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ Faux

$0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ Vrai

$x > - 1 + \sqrt{7}$ Faux

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 1 - \sqrt{7}$ ou $0 \leq x < - 1 + \sqrt{7}$

Étape 14

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 1 - \sqrt{7}) \cup [0, - 1 + \sqrt{7})$

Étape 15