Pré-calcul Exemples

$(x - 1) (x - 2) (x - 4) \geq 0$

Étape 1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 2

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 3

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 4

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (x - 2) (x - 4) \geq 0$ vraie.

$x = 1, 2, 4$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 1$

$1 < x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 7.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$((0) - 1) ((0) - 2) ((0) - 4) \geq 0$

Étape 7.1.3

Le côté gauche $- 8$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1.5$

Étape 7.2.2

Remplacez $x$ par $1.5$ dans l’inégalité d’origine.

$((1.5) - 1) ((1.5) - 2) ((1.5) - 4) \geq 0$

Étape 7.2.3

Le côté gauche $0.625$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 7.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$((3) - 1) ((3) - 2) ((3) - 4) \geq 0$

Étape 7.3.3

Le côté gauche $- 2$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 7.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$((6) - 1) ((6) - 2) ((6) - 4) \geq 0$

Étape 7.4.3

Le côté gauche $40$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 7.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 1$ Faux

$1 < x < 2$ Vrai

$2 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Vrai

$x < 1$ Faux

$1 < x < 2$ Vrai

$2 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Vrai

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$1 \leq x \leq 2$ ou $x \geq 4$

Étape 9

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$[1, 2] \cup [4, \infty)$

Étape 10