Pré-calcul Exemples

$\frac{x + 6}{x^{2} - 6 x + 8} > \frac{2}{x - 4}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{2}{x - 4}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{x + 6}{x^{2} - 6 x + 8} - \frac{2}{x - 4} > 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x + 6}{x^{2} - 6 x + 8} - \frac{2}{x - 4}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2} - 6 x + 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $8$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 4, - 2$

Étape 2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x + 6}{(x - 4) (x - 2)} - \frac{2}{x - 4} > 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{2}{x - 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 6}{(x - 4) (x - 2)} - \frac{2}{x - 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} > 0$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{2}{x - 4}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 6}{(x - 4) (x - 2)} - \frac{2 (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + 6 - 2 (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 6 - 2 x - 2 \cdot - 2}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Étape 2.5.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{x + 6 - 2 x + 4}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Étape 2.5.3

Soustrayez $2 x$ de $x$ .

$\frac{- x + 6 + 4}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Étape 2.5.4

Additionnez $6$ et $4$ .

$\frac{- x + 10}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Étape 2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) + 10}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Étape 2.7

Réécrivez $10$ comme $- 1 (- 10)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 10)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Étape 2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 10)$ .

$\frac{- (x - 10)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Étape 2.9

Réécrivez $- (x - 10)$ comme $- 1 (x - 10)$ .

$\frac{- 1 (x - 10)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Étape 2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x - 10}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x - 10 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 4

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 10$

Étape 5

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 6

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 7

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 10$

$x = 4$

$x = 2$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$x = 10, 4, 2$

Étape 9

Déterminez le domaine de $- \frac{x - 10}{(x - 4) (x - 2)}$ .

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Étape 9.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 10}{(x - 4) (x - 2)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(x - 4) (x - 2) = 0$

Étape 9.2

Résolvez $x$ .

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Étape 9.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 9.2.2

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.2.2.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 9.2.2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 9.2.3

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.2.3.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 9.2.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 9.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 4) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 4, 2$

Étape 9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$4 < x < 10$

$x > 10$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(0) + 6}{{(0)}^{2} - 6 \cdot 0 + 8} > \frac{2}{(0) - 4}$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $0.75$ est supérieur au côté droit $- 0.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(3) + 6}{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 8} > \frac{2}{(3) - 4}$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $- 9$ n’est pas supérieur au côté droit $- 2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $4 < x < 10$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $4 < x < 10$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 7$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $7$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(7) + 6}{{(7)}^{2} - 6 \cdot 7 + 8} > \frac{2}{(7) - 4}$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $0.8\overline{6}$ est supérieur au côté droit $0.\overline{6}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 10$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 10$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 12$

Étape 11.4.2

Remplacez $x$ par $12$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(12) + 6}{{(12)}^{2} - 6 \cdot 12 + 8} > \frac{2}{(12) - 4}$

Étape 11.4.3

Le côté gauche $0.225$ n’est pas supérieur au côté droit $0.25$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 2$ Vrai

$2 < x < 4$ Faux

$4 < x < 10$ Vrai

$x > 10$ Faux

$x < 2$ Vrai

$2 < x < 4$ Faux

$4 < x < 10$ Vrai

$x > 10$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < 2$ ou $4 < x < 10$

Étape 13

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, 2) \cup (4, 10)$

Étape 14