Pré-calcul Exemples

$(x + 6) (x^{2} - 16) (1 - x) \leq 0$

Étape 1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 6 = 0$

$x^{2} - 16 = 0$

$1 - x = 0$

Étape 2

Définissez $x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Définissez $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 3

Définissez $x^{2} - 16$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x^{2} - 16$ égal à $0$ .

$x^{2} - 16 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x^{2} - 16 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 16$

Étape 3.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{16}$

Étape 3.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{16}$ .

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Étape 3.2.3.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Étape 3.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 4$

Étape 3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 4$

Étape 3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 4$

Étape 3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 4, - 4$

Étape 4

Définissez $1 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $1 - x$ égal à $0$ .

$1 - x = 0$

Étape 4.2

Résolvez $1 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 6) (x^{2} - 16) (1 - x) \leq 0$ vraie.

$x = - 6, 4, - 4, 1$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 4$

$- 4 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 7.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$((- 8) + 6) ({(- 8)}^{2} - 16) (1 - (- 8)) \leq 0$

Étape 7.1.3

Le côté gauche $- 864$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 6 < x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 6 < x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 5$

Étape 7.2.2

Remplacez $x$ par $- 5$ dans l’inégalité d’origine.

$((- 5) + 6) ({(- 5)}^{2} - 16) (1 - (- 5)) \leq 0$

Étape 7.2.3

Le côté gauche $54$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 7.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$((0) + 6) ({(0)}^{2} - 16) (1 - (0)) \leq 0$

Étape 7.3.3

Le côté gauche $- 96$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 7.4

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 7.4.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$((2) + 6) ({(2)}^{2} - 16) (1 - (2)) \leq 0$

Étape 7.4.3

Le côté gauche $96$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 7.5.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$((6) + 6) ({(6)}^{2} - 16) (1 - (6)) \leq 0$

Étape 7.5.3

Le côté gauche $- 1200$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 7.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 6$ Vrai

$- 6 < x < - 4$ Faux

$- 4 < x < 1$ Vrai

$1 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Vrai

$x < - 6$ Vrai

$- 6 < x < - 4$ Faux

$- 4 < x < 1$ Vrai

$1 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Vrai

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 6$ ou $- 4 \leq x \leq 1$ ou $x \geq 4$

Étape 9

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 6] \cup [- 4, 1] \cup [4, \infty)$

Étape 10