Pré-calcul Exemples

$\frac{4 + x}{4 - x} \geq 1$

Étape 1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{4 + x}{4 - x} - 1 \geq 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{4 + x}{4 - x} - 1$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4 - x}{4 - x}$ .

$\frac{4 + x}{4 - x} - 1 \cdot \frac{4 - x}{4 - x} \geq 0$

Étape 2.2

Associez $- 1$ et $\frac{4 - x}{4 - x}$ .

$\frac{4 + x}{4 - x} + \frac{- (4 - x)}{4 - x} \geq 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 + x - (4 - x)}{4 - x} \geq 0$

Étape 2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 + x - 1 \cdot 4 - - x}{4 - x} \geq 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{4 + x - 4 - - x}{4 - x} \geq 0$

Étape 2.4.3

Multipliez $- - x$ .

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Étape 2.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{4 + x - 4 + 1 x}{4 - x} \geq 0$

Étape 2.4.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{4 + x - 4 + x}{4 - x} \geq 0$

Étape 2.4.4

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{x + 0 + x}{4 - x} \geq 0$

Étape 2.4.5

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{x + x}{4 - x} \geq 0$

Étape 2.4.6

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{2 x}{4 - x} \geq 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$2 x = 0$

$4 - x = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 5

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 4$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 6.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$x = 4$

Étape 7

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = 4$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$x = 0, 4$

Étape 9

Déterminez le domaine de $\frac{2 x}{4 - x}$ .

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Étape 9.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x}{4 - x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$4 - x = 0$

Étape 9.2

Résolvez $x$ .

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Étape 9.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 4$

Étape 9.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 9.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 9.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 9.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 9.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.2.3.1

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$x = 4$

Étape 9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4 - 2}{4 - (- 2)} \geq 1$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $0.\overline{3}$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4 + 2}{4 - (2)} \geq 1$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $3$ est supérieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4 + 6}{4 - (6)} \geq 1$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $- 5$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 \leq x < 4$

Étape 13

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$[0, 4)$

Étape 14