Pré-calcul Exemples

$\frac{5 x - 7}{x^{2} - 1} \geq 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$5 x - 7 = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

Étape 2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x = 7$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $5 x = 7$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $5 x = 7$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{7}{5}$

Étape 4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 1$

Étape 5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 6

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = \frac{7}{5}$

$x = 1, - 1$

Étape 9

Consolidez les solutions.

$x = \frac{7}{5}, 1, - 1$

Étape 10

Déterminez le domaine de $\frac{5 x - 7}{x^{2} - 1}$ .

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Étape 10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{5 x - 7}{x^{2} - 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 1 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $x$ .

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Étape 10.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 1$

Étape 10.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 10.2.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 10.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 10.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 10.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 10.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 10.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < \frac{7}{5}$

$x > \frac{7}{5}$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5 (- 4) - 7}{{(- 4)}^{2} - 1} \geq 0$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $- 1.8$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5 (0) - 7}{{(0)}^{2} - 1} \geq 0$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $7$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < \frac{7}{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < \frac{7}{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1.2$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $1.2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5 (1.2) - 7}{{(1.2)}^{2} - 1} \geq 0$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $- 2.\overline{27}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 12.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{7}{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{7}{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 12.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5 (4) - 7}{{(4)}^{2} - 1} \geq 0$

Étape 12.4.3

Le côté gauche $0.8\overline{6}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 12.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 1$ Vrai

$1 < x < \frac{7}{5}$ Faux

$x > \frac{7}{5}$ Vrai

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 1$ Vrai

$1 < x < \frac{7}{5}$ Faux

$x > \frac{7}{5}$ Vrai

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 1 < x < 1$ ou $x \geq \frac{7}{5}$

Étape 14

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 1, 1) \cup [\frac{7}{5}, \infty)$

Étape 15