Pré-calcul Exemples

$\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25} \leq 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} - 9 x + 18 = 0$

$4 x^{2} - 25 = 0$

Étape 2

Factorisez $x^{2} - 9 x + 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $18$ et dont la somme est $- 9$ .

$- 6, - 3$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 6) (x - 3) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 4

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 6) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 6, 3$

Étape 7

Ajoutez $25$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} = 25$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} = 25$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} = 25$ par $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{4}$

Étape 9

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

Étape 10

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ .

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Étape 10.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{25}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

Étape 10.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

Étape 10.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

Étape 10.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 10.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{5}{2}$

Étape 11

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{5}{2}$

Étape 11.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{5}{2}$

Étape 11.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Étape 12

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 6, 3$

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Étape 13

Consolidez les solutions.

$x = 6, 3, \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Étape 14

Déterminez le domaine de $\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25}$ .

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Étape 14.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$4 x^{2} - 25 = 0$

Étape 14.2

Résolvez $x$ .

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Étape 14.2.1

Ajoutez $25$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} = 25$

Étape 14.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} = 25$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 14.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} = 25$ par $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Étape 14.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 14.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 14.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Étape 14.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{4}$

Étape 14.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

Étape 14.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ .

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Étape 14.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{25}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

Étape 14.2.4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.2.4.2.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

Étape 14.2.4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

Étape 14.2.4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.2.4.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 14.2.4.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{5}{2}$

Étape 14.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 14.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{5}{2}$

Étape 14.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{5}{2}$

Étape 14.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Étape 14.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{5}{2}, \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}, \infty)$

Étape 15

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$

$\frac{5}{2} < x < 3$

$3 < x < 6$

$x > 6$

Étape 16

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 16.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{5}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 16.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{5}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 5$

Étape 16.1.2

Remplacez $x$ par $- 5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 5)}^{2} - 9 \cdot - 5 + 18}{4 {(- 5)}^{2} - 25} \leq 0$

Étape 16.1.3

Le côté gauche $1.17\overline{3}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 16.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 16.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 16.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(0)}^{2} - 9 \cdot 0 + 18}{4 {(0)}^{2} - 25} \leq 0$

Étape 16.2.3

Le côté gauche $- 0.72$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 16.3

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{5}{2} < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 16.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{5}{2} < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2.75$

Étape 16.3.2

Remplacez $x$ par $2.75$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(2.75)}^{2} - 9 \cdot 2.75 + 18}{4 {(2.75)}^{2} - 25} \leq 0$

Étape 16.3.3

Le côté gauche $0.1547619$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 16.4

Testez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 16.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 16.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(4)}^{2} - 9 \cdot 4 + 18}{4 {(4)}^{2} - 25} \leq 0$

Étape 16.4.3

Le côté gauche $- 0.\overline{051282}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 16.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 16.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 16.5.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(8)}^{2} - 9 \cdot 8 + 18}{4 {(8)}^{2} - 25} \leq 0$

Étape 16.5.3

Le côté gauche $0.\overline{043290}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 16.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{5}{2}$ Faux

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ Vrai

$\frac{5}{2} < x < 3$ Faux

$3 < x < 6$ Vrai

$x > 6$ Faux

$x < - \frac{5}{2}$ Faux

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ Vrai

$\frac{5}{2} < x < 3$ Faux

$3 < x < 6$ Vrai

$x > 6$ Faux

Étape 17

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ ou $3 \leq x \leq 6$

Étape 18

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \frac{5}{2}, \frac{5}{2}) \cup [3, 6]$

Étape 19