Pré-calcul Exemples

$\frac{x^{2} - 81}{x^{4} - 81} < 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} - 81 = 0$

$x^{4} - 81 = 0$

Étape 2

Ajoutez $81$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 81$

Étape 3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{81}$

Étape 4

Simplifiez $\pm \sqrt{81}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{9^{2}}$

Étape 4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 9$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 9$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 9$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 9, - 9$

Étape 6

Ajoutez $81$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{4} = 81$

Étape 7

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[4]{81}$

Étape 8

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{81}$ .

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Étape 8.1

Réécrivez $81$ comme $3^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{3^{4}}$

Étape 8.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 9

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 9.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 9.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 9.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 10

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 9, - 9$

$x = 3, - 3$

Étape 11

Consolidez les solutions.

$x = 9, - 9, 3, - 3$

Étape 12

Déterminez le domaine de $\frac{x^{2} - 81}{x^{4} - 81}$ .

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Étape 12.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} - 81}{x^{4} - 81}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{4} - 81 = 0$

Étape 12.2

Résolvez $x$ .

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Étape 12.2.1

Ajoutez $81$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{4} = 81$

Étape 12.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[4]{81}$

Étape 12.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{81}$ .

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Étape 12.2.3.1

Réécrivez $81$ comme $3^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{3^{4}}$

Étape 12.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 12.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 12.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 12.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 12.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 12.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 13

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 9$

$- 9 < x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$3 < x < 9$

$x > 9$

Étape 14

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 14.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 9$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 9$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 12$

Étape 14.1.2

Remplacez $x$ par $- 12$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 12)}^{2} - 81}{{(- 12)}^{4} - 81} < 0$

Étape 14.1.3

Le côté gauche $0.0030501$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 14.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 9 < x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 9 < x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 14.2.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 81}{{(- 6)}^{4} - 81} < 0$

Étape 14.2.3

Le côté gauche $- 0.\overline{037}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 14.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 14.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(0)}^{2} - 81}{{(0)}^{4} - 81} < 0$

Étape 14.3.3

Le côté gauche $1$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 14.4

Testez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 9$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 9$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 14.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(6)}^{2} - 81}{{(6)}^{4} - 81} < 0$

Étape 14.4.3

Le côté gauche $- 0.\overline{037}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 14.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 9$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 9$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 12$

Étape 14.5.2

Remplacez $x$ par $12$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(12)}^{2} - 81}{{(12)}^{4} - 81} < 0$

Étape 14.5.3

Le côté gauche $0.0030501$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 14.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 9$ Faux

$- 9 < x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 3$ Faux

$3 < x < 9$ Vrai

$x > 9$ Faux

$x < - 9$ Faux

$- 9 < x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 3$ Faux

$3 < x < 9$ Vrai

$x > 9$ Faux

Étape 15

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 9 < x < - 3$ ou $3 < x < 9$

Étape 16

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 9, - 3) \cup (3, 9)$

Étape 17