Pré-calcul Exemples

$\frac{2 x - 7}{3 x + 2} \geq 1$

Étape 1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{2 x - 7}{3 x + 2} - 1 \geq 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{2 x - 7}{3 x + 2} - 1$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x + 2}{3 x + 2}$ .

$\frac{2 x - 7}{3 x + 2} - 1 \cdot \frac{3 x + 2}{3 x + 2} \geq 0$

Étape 2.2

Associez $- 1$ et $\frac{3 x + 2}{3 x + 2}$ .

$\frac{2 x - 7}{3 x + 2} + \frac{- (3 x + 2)}{3 x + 2} \geq 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x - 7 - (3 x + 2)}{3 x + 2} \geq 0$

Étape 2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x - 7 - (3 x) - 1 \cdot 2}{3 x + 2} \geq 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{2 x - 7 - 3 x - 1 \cdot 2}{3 x + 2} \geq 0$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 x - 7 - 3 x - 2}{3 x + 2} \geq 0$

Étape 2.4.4

Soustrayez $3 x$ de $2 x$ .

$\frac{- x - 7 - 2}{3 x + 2} \geq 0$

Étape 2.4.5

Soustrayez $2$ de $- 7$ .

$\frac{- x - 9}{3 x + 2} \geq 0$

Étape 2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) - 9}{3 x + 2} \geq 0$

Étape 2.6

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$\frac{- (x) - 1 (9)}{3 x + 2} \geq 0$

Étape 2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (9)$ .

$\frac{- (x + 9)}{3 x + 2} \geq 0$

Étape 2.8

Réécrivez $- (x + 9)$ comme $- 1 (x + 9)$ .

$\frac{- 1 (x + 9)}{3 x + 2} \geq 0$

Étape 2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x + 9}{3 x + 2} \geq 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x + 9 = 0$

$3 x + 2 = 0$

Étape 4

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 9$

Étape 5

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 2$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 7

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 9$

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$x = - 9, - \frac{2}{3}$

Étape 9

Déterminez le domaine de $- \frac{x + 9}{3 x + 2}$ .

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Étape 9.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + 9}{3 x + 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 x + 2 = 0$

Étape 9.2

Résolvez $x$ .

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Étape 9.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 2$

Étape 9.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 9.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 9.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 9.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Étape 9.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 9$

$- 9 < x < - \frac{2}{3}$

$x > - \frac{2}{3}$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 9$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 9$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 12$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 12$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (- 12) - 7}{3 (- 12) + 2} \geq 1$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $0.9117647$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 9 < x < - \frac{2}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 9 < x < - \frac{2}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 5$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $- 5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (- 5) - 7}{3 (- 5) + 2} \geq 1$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $1.\overline{307692}$ est supérieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - \frac{2}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - \frac{2}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (0) - 7}{3 (0) + 2} \geq 1$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $- 3.5$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 9$ Faux

$- 9 < x < - \frac{2}{3}$ Vrai

$x > - \frac{2}{3}$ Faux

$x < - 9$ Faux

$- 9 < x < - \frac{2}{3}$ Vrai

$x > - \frac{2}{3}$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 9 \leq x < - \frac{2}{3}$

Étape 13

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$[- 9, - \frac{2}{3})$

Étape 14