Pré-calcul Exemples

$\frac{(x^{2} + 1) (x - 5)}{x^{2} - 25} \geq 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} + 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x^{2} - 25 = 0$

Étape 2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 1$

Étape 3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 4

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 6

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 7

Ajoutez $25$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 25$

Étape 8

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{25}$

Étape 9

Simplifiez $\pm \sqrt{25}$ .

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Étape 9.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Étape 9.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 5$

Étape 10

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 10.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 5$

Étape 10.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 5$

Étape 10.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 5, - 5$

Étape 11

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = i, - i$

$x = 5$

$x = 5, - 5$

Étape 12

Consolidez les solutions.

$x = 5, 5, - 5$

Étape 13

Déterminez le domaine de $\frac{(x^{2} + 1) (x - 5)}{x^{2} - 25}$ .

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Étape 13.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(x^{2} + 1) (x - 5)}{x^{2} - 25}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 25 = 0$

Étape 13.2

Résolvez $x$ .

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Étape 13.2.1

Ajoutez $25$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 25$

Étape 13.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{25}$

Étape 13.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{25}$ .

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Étape 13.2.3.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Étape 13.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 5$

Étape 13.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 13.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 5$

Étape 13.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 5$

Étape 13.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 5, - 5$

Étape 13.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Étape 14

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < 5$

$x > 5$

Étape 15

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 15.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 15.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{({(- 8)}^{2} + 1) ((- 8) - 5)}{{(- 8)}^{2} - 25} \geq 0$

Étape 15.1.3

Le côté gauche $- 21.\overline{6}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 15.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 15.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{({(0)}^{2} + 1) ((0) - 5)}{{(0)}^{2} - 25} \geq 0$

Étape 15.2.3

Le côté gauche $0.2$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 15.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 15.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{({(8)}^{2} + 1) ((8) - 5)}{{(8)}^{2} - 25} \geq 0$

Étape 15.3.3

Le côté gauche $5$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 15.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Vrai

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Vrai

Étape 16

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 5 < x < 5$ ou $x > 5$

Étape 17

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Étape 18