Pré-calcul Exemples

$g (x) = x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 17 x] + \frac{d}{d x} [- 21]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 17 x] + \frac{d}{d x} [- 21]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 17 x] + \frac{d}{d x} [- 21]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 17 x] + \frac{d}{d x} [- 21]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} + 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 17 x] + \frac{d}{d x} [- 21]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$3 x^{2} + 10 x + \frac{d}{d x} [- 17 x] + \frac{d}{d x} [- 21]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 17 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 17$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 17 x$ par rapport à $x$ est $- 17 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 10 x - 17 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 21]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + 10 x - 17 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 21]$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 17$ par $1$ .

$3 x^{2} + 10 x - 17 + \frac{d}{d x} [- 21]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $- 21$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 21$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 10 x - 17 + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $3 x^{2} + 10 x - 17$ et $0$ .

$3 x^{2} + 10 x - 17$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 10 x - 17$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 17]$ .

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (- 17)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$g'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (- 17)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$g'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (- 17)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$g'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (- 17)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$g'' (x) = 6 x + 10 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 17)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$g'' (x) = 6 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 17)$

Étape 2.3.3

Multipliez $10$ par $1$ .

$g'' (x) = 6 x + 10 + \frac{d}{d x} (- 17)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 17$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 17$ par rapport à $x$ est $0$ .

$g'' (x) = 6 x + 10 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $6 x + 10$ et $0$ .

$g'' (x) = 6 x + 10$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x^{2} + 10 x - 17 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 17 x] + \frac{d}{d x} [- 21]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 17 x) + \frac{d}{d x} (- 21)$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 17 x) + \frac{d}{d x} (- 21)$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 17 x) + \frac{d}{d x} (- 21)$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 5 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 17 x) + \frac{d}{d x} (- 21)$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 10 x + \frac{d}{d x} (- 17 x) + \frac{d}{d x} (- 21)$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 17 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 17$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 17 x$ par rapport à $x$ est $- 17 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 10 x - 17 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 21)$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 10 x - 17 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 21)$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $- 17$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 10 x - 17 + \frac{d}{d x} (- 21)$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 21$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 21$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 10 x - 17 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $3 x^{2} + 10 x - 17$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 10 x - 17$

Étape 4.2

La dérivée première de $g (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} + 10 x - 17$ .

$3 x^{2} + 10 x - 17$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} + 10 x - 17 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} + 10 x - 17 = 0$

Étape 5.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.3

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = 10$ et $c = - 17$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 17)}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.4

Simplifiez

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Étape 5.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 17}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 17$ .

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Étape 5.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 17}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.4.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 17$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 204}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.4.1.3

Additionnez $100$ et $204$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{304}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.4.1.4

Réécrivez $304$ comme $4^{2} \cdot 19$ .

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Étape 5.4.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $304$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{16 (19)}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.4.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 10 \pm 4 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm 4 \sqrt{19}}{6}$

Étape 5.4.3

Simplifiez $\frac{- 10 \pm 4 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{- 5 \pm 2 \sqrt{19}}{3}$

Étape 5.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.1.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 17}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 17$ .

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Étape 5.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 17}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.5.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 17$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 204}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.5.1.3

Additionnez $100$ et $204$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{304}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.5.1.4

Réécrivez $304$ comme $4^{2} \cdot 19$ .

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Étape 5.5.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $304$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{16 (19)}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.5.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 10 \pm 4 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm 4 \sqrt{19}}{6}$

Étape 5.5.3

Simplifiez $\frac{- 10 \pm 4 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{- 5 \pm 2 \sqrt{19}}{3}$

Étape 5.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 5 + 2 \sqrt{19}}{3}$

Étape 5.5.5

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + 2 \sqrt{19}}{3}$

Étape 5.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $2 \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (- 2 \sqrt{19})}{3}$

Étape 5.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (5) - (- 2 \sqrt{19})$ .

$x = \frac{- 1 (5 - 2 \sqrt{19})}{3}$

Étape 5.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}$

Étape 5.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 17}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 17$ .

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Étape 5.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 17}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.6.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 17$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 204}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.6.1.3

Additionnez $100$ et $204$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{304}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.6.1.4

Réécrivez $304$ comme $4^{2} \cdot 19$ .

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Étape 5.6.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $304$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{16 (19)}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.6.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 10 \pm 4 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm 4 \sqrt{19}}{6}$

Étape 5.6.3

Simplifiez $\frac{- 10 \pm 4 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{- 5 \pm 2 \sqrt{19}}{3}$

Étape 5.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 5 - 2 \sqrt{19}}{3}$

Étape 5.6.5

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 2 \sqrt{19}}{3}$

Étape 5.6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (2 \sqrt{19})}{3}$

Étape 5.6.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (5) - (2 \sqrt{19})$ .

$x = \frac{- 1 (5 + 2 \sqrt{19})}{3}$

Étape 5.6.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}$

Étape 5.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}, - \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}, - \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 10$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}$ dans le numérateur.

$6 \frac{- (5 - 2 \sqrt{19})}{3} + 10$

Étape 9.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 (2) \frac{- (5 - 2 \sqrt{19})}{3} + 10$

Étape 9.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 2 \frac{- (5 - 2 \sqrt{19})}{3} + 10$

Étape 9.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$2 (- (5 - 2 \sqrt{19})) + 10$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 (5 - 2 \sqrt{19}) + 10$

Étape 9.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \cdot 5 - 2 (- 2 \sqrt{19}) + 10$

Étape 9.1.4

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$- 10 - 2 (- 2 \sqrt{19}) + 10$

Étape 9.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$- 10 + 4 \sqrt{19} + 10$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 9.2.1

Additionnez $- 10$ et $10$ .

$0 + 4 \sqrt{19}$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $4 \sqrt{19}$ .

$4 \sqrt{19}$

Étape 10

$x = - \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}$ dans l’expression.

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = {(- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{3} + 5 {(- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 11.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{3} + 5 {(- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{{(5 - 2 \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}}) + 5 {(- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(5 - 2 \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}} + 5 {(- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(5 - 2 \sqrt{19})}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.4

Utilisez le théorème du binôme.

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{5^{3} + 3 \cdot (5^{2} (- 2 \sqrt{19})) + 3 \cdot (5 {(- 2 \sqrt{19})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{19})}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.5.1

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 + 3 \cdot (5^{2} (- 2 \sqrt{19})) + 3 \cdot (5 {(- 2 \sqrt{19})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{19})}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.5.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 + 3 \cdot (25 (- 2 \sqrt{19})) + 3 \cdot (5 {(- 2 \sqrt{19})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{19})}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.5.3

Multipliez $3$ par $25$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 + 75 (- 2 \sqrt{19}) + 3 \cdot (5 {(- 2 \sqrt{19})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{19})}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.5.4

Multipliez $- 2$ par $75$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 - 150 \sqrt{19} + 3 \cdot (5 {(- 2 \sqrt{19})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{19})}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.5.5

Multipliez $3$ par $5$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 - 150 \sqrt{19} + 15 {(- 2 \sqrt{19})}^{2} + {(- 2 \sqrt{19})}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.5.6

Appliquez la règle de produit à $- 2 \sqrt{19}$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 - 150 \sqrt{19} + 15 ({(- 2)}^{2} {\sqrt{19}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{19})}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.5.7

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 - 150 \sqrt{19} + 15 (4 {\sqrt{19}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{19})}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.5.8

Réécrivez ${\sqrt{19}}^{2}$ comme $19$ .

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Étape 11.2.1.5.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{19}$ comme $19^{\frac{1}{2}}$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 - 150 \sqrt{19} + 15 (4 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{19})}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.5.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 - 150 \sqrt{19} + 15 (4 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- 2 \sqrt{19})}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.5.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 - 150 \sqrt{19} + 15 (4 \cdot 19^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{19})}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.5.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1.5.8.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 11.2.1.5.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 - 150 \sqrt{19} + 15 (4 \cdot 19) + {(- 2 \sqrt{19})}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.5.8.5

Évaluez l’exposant.

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 - 150 \sqrt{19} + 15 (4 \cdot 19) + {(- 2 \sqrt{19})}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.5.9

Multipliez $15 (4 \cdot 19)$ .

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Étape 11.2.1.5.9.1

Multipliez $4$ par $19$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 - 150 \sqrt{19} + 15 \cdot 76 + {(- 2 \sqrt{19})}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.5.9.2

Multipliez $15$ par $76$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 - 150 \sqrt{19} + 1140 + {(- 2 \sqrt{19})}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.5.10

Appliquez la règle de produit à $- 2 \sqrt{19}$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 - 150 \sqrt{19} + 1140 + {(- 2)}^{3} {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.5.11

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 - 150 \sqrt{19} + 1140 - 8 {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.5.12

Réécrivez ${\sqrt{19}}^{3}$ comme $\sqrt{19^{3}}$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 - 150 \sqrt{19} + 1140 - 8 \sqrt{19^{3}}}{27} + 5 {(- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.5.13

Élevez $19$ à la puissance $3$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 - 150 \sqrt{19} + 1140 - 8 \sqrt{6859}}{27} + 5 {(- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.5.14

Réécrivez $6859$ comme $19^{2} \cdot 19$ .

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Étape 11.2.1.5.14.1

Factorisez $361$ à partir de $6859$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 - 150 \sqrt{19} + 1140 - 8 \sqrt{361 (19)}}{27} + 5 {(- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.5.14.2

Réécrivez $361$ comme $19^{2}$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 - 150 \sqrt{19} + 1140 - 8 \sqrt{19^{2} \cdot 19}}{27} + 5 {(- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.5.15

Extrayez les termes de sous le radical.

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 - 150 \sqrt{19} + 1140 - 8 (19 \sqrt{19})}{27} + 5 {(- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.5.16

Multipliez $19$ par $- 8$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 - 150 \sqrt{19} + 1140 - 152 \sqrt{19}}{27} + 5 {(- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.6

Additionnez $125$ et $1140$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 150 \sqrt{19} - 152 \sqrt{19}}{27} + 5 {(- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.7

Soustrayez $152 \sqrt{19}$ de $- 150 \sqrt{19}$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + 5 {(- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.8

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 11.2.1.8.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})}^{2}) - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.8.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(5 - 2 \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}})) - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.9

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (1 (\frac{{(5 - 2 \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}})) - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.10

Multipliez $\frac{{(5 - 2 \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{{(5 - 2 \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}}) - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.11

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{{(5 - 2 \sqrt{19})}^{2}}{9}) - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.12

Réécrivez ${(5 - 2 \sqrt{19})}^{2}$ comme $(5 - 2 \sqrt{19}) (5 - 2 \sqrt{19})$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{(5 - 2 \sqrt{19}) (5 - 2 \sqrt{19})}{9}) - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.13

Développez $(5 - 2 \sqrt{19}) (5 - 2 \sqrt{19})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 11.2.1.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{5 (5 - 2 \sqrt{19}) - 2 \sqrt{19} (5 - 2 \sqrt{19})}{9}) - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{5 \cdot 5 + 5 (- 2 \sqrt{19}) - 2 \sqrt{19} (5 - 2 \sqrt{19})}{9}) - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.13.3

Appliquez la propriété distributive.

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{5 \cdot 5 + 5 (- 2 \sqrt{19}) - 2 \sqrt{19} \cdot 5 - 2 \sqrt{19} (- 2 \sqrt{19})}{9}) - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.14

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 11.2.1.14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.14.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{25 + 5 (- 2 \sqrt{19}) - 2 \sqrt{19} \cdot 5 - 2 \sqrt{19} (- 2 \sqrt{19})}{9}) - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.14.1.2

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{25 - 10 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19} \cdot 5 - 2 \sqrt{19} (- 2 \sqrt{19})}{9}) - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.14.1.3

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{25 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19} (- 2 \sqrt{19})}{9}) - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.14.1.4

Multipliez $- 2 \sqrt{19} (- 2 \sqrt{19})$ .

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Étape 11.2.1.14.1.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{25 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 4 \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.14.1.4.2

Élevez $\sqrt{19}$ à la puissance $1$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{25 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 4 (\sqrt{19} \sqrt{19})}{9}) - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.14.1.4.3

Élevez $\sqrt{19}$ à la puissance $1$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{25 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 4 (\sqrt{19} \sqrt{19})}{9}) - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.14.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{25 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 4 {\sqrt{19}}^{1 + 1}}{9}) - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.14.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{25 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 4 {\sqrt{19}}^{2}}{9}) - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.14.1.5

Réécrivez ${\sqrt{19}}^{2}$ comme $19$ .

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Étape 11.2.1.14.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{19}$ comme $19^{\frac{1}{2}}$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{25 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 4 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}) - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.14.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{25 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 4 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}) - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.14.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{25 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 4 \cdot 19^{\frac{2}{2}}}{9}) - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.14.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1.14.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{25 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 4 \cdot 19^{\frac{2}{2}}}{9}) - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.14.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{25 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 4 \cdot 19}{9}) - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.14.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{25 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 4 \cdot 19}{9}) - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.14.1.6

Multipliez $4$ par $19$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{25 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 76}{9}) - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.14.2

Additionnez $25$ et $76$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{101 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19}}{9}) - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.14.3

Soustrayez $10 \sqrt{19}$ de $- 10 \sqrt{19}$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{101 - 20 \sqrt{19}}{9}) - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.15

Associez $5$ et $\frac{101 - 20 \sqrt{19}}{9}$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + \frac{5 (101 - 20 \sqrt{19})}{9} - 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.16

Multipliez $- 17 (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3})$ .

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Étape 11.2.1.16.1

Multipliez $- 1$ par $- 17$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + \frac{5 (101 - 20 \sqrt{19})}{9} + 17 (\frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 11.2.1.16.2

Associez $17$ et $\frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + \frac{5 (101 - 20 \sqrt{19})}{9} + \frac{17 (5 - 2 \sqrt{19})}{3} - 21$

Étape 11.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 11.2.2.1

Multipliez $\frac{5 (101 - 20 \sqrt{19})}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + \frac{5 (101 - 20 \sqrt{19})}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{17 (5 - 2 \sqrt{19})}{3} - 21$

Étape 11.2.2.2

Multipliez $\frac{5 (101 - 20 \sqrt{19})}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + \frac{5 (101 - 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{17 (5 - 2 \sqrt{19})}{3} - 21$

Étape 11.2.2.3

Multipliez $\frac{17 (5 - 2 \sqrt{19})}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + \frac{5 (101 - 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{17 (5 - 2 \sqrt{19})}{3} \cdot \frac{9}{9} - 21$

Étape 11.2.2.4

Multipliez $\frac{17 (5 - 2 \sqrt{19})}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + \frac{5 (101 - 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{17 (5 - 2 \sqrt{19}) \cdot 9}{3 \cdot 9} - 21$

Étape 11.2.2.5

Écrivez $- 21$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + \frac{5 (101 - 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{17 (5 - 2 \sqrt{19}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 21}{1}$

Étape 11.2.2.6

Multipliez $\frac{- 21}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + \frac{5 (101 - 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{17 (5 - 2 \sqrt{19}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 21}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Étape 11.2.2.7

Multipliez $\frac{- 21}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + \frac{5 (101 - 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{17 (5 - 2 \sqrt{19}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 21 \cdot 27}{27}$

Étape 11.2.2.8

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 3$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + \frac{5 (101 - 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{17 (5 - 2 \sqrt{19}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 21 \cdot 27}{27}$

Étape 11.2.2.9

Multipliez $3$ par $9$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + \frac{5 (101 - 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + \frac{17 (5 - 2 \sqrt{19}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 21 \cdot 27}{27}$

Étape 11.2.2.10

Multipliez $3$ par $9$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 - 302 \sqrt{19}}{27} + \frac{5 (101 - 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + \frac{17 (5 - 2 \sqrt{19}) \cdot 9}{27} + \frac{- 21 \cdot 27}{27}$

Étape 11.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (1265 - 302 \sqrt{19}) + 5 (101 - 20 \sqrt{19}) \cdot 3 + 17 (5 - 2 \sqrt{19}) \cdot 9 - 21 \cdot 27}{27}$

Étape 11.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 1265 - (- 302 \sqrt{19}) + 5 (101 - 20 \sqrt{19}) \cdot 3 + 17 (5 - 2 \sqrt{19}) \cdot 9 - 21 \cdot 27}{27}$

Étape 11.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $1265$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1265 - (- 302 \sqrt{19}) + 5 (101 - 20 \sqrt{19}) \cdot 3 + 17 (5 - 2 \sqrt{19}) \cdot 9 - 21 \cdot 27}{27}$

Étape 11.2.4.3

Multipliez $- 302$ par $- 1$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1265 + 302 \sqrt{19} + 5 (101 - 20 \sqrt{19}) \cdot 3 + 17 (5 - 2 \sqrt{19}) \cdot 9 - 21 \cdot 27}{27}$

Étape 11.2.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1265 + 302 \sqrt{19} + (5 \cdot 101 + 5 (- 20 \sqrt{19})) \cdot 3 + 17 (5 - 2 \sqrt{19}) \cdot 9 - 21 \cdot 27}{27}$

Étape 11.2.4.5

Multipliez $5$ par $101$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1265 + 302 \sqrt{19} + (505 + 5 (- 20 \sqrt{19})) \cdot 3 + 17 (5 - 2 \sqrt{19}) \cdot 9 - 21 \cdot 27}{27}$

Étape 11.2.4.6

Multipliez $- 20$ par $5$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1265 + 302 \sqrt{19} + (505 - 100 \sqrt{19}) \cdot 3 + 17 (5 - 2 \sqrt{19}) \cdot 9 - 21 \cdot 27}{27}$

Étape 11.2.4.7

Appliquez la propriété distributive.

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1265 + 302 \sqrt{19} + 505 \cdot 3 - 100 \sqrt{19} \cdot 3 + 17 (5 - 2 \sqrt{19}) \cdot 9 - 21 \cdot 27}{27}$

Étape 11.2.4.8

Multipliez $505$ par $3$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1265 + 302 \sqrt{19} + 1515 - 100 \sqrt{19} \cdot 3 + 17 (5 - 2 \sqrt{19}) \cdot 9 - 21 \cdot 27}{27}$

Étape 11.2.4.9

Multipliez $3$ par $- 100$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1265 + 302 \sqrt{19} + 1515 - 300 \sqrt{19} + 17 (5 - 2 \sqrt{19}) \cdot 9 - 21 \cdot 27}{27}$

Étape 11.2.4.10

Appliquez la propriété distributive.

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1265 + 302 \sqrt{19} + 1515 - 300 \sqrt{19} + (17 \cdot 5 + 17 (- 2 \sqrt{19})) \cdot 9 - 21 \cdot 27}{27}$

Étape 11.2.4.11

Multipliez $17$ par $5$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1265 + 302 \sqrt{19} + 1515 - 300 \sqrt{19} + (85 + 17 (- 2 \sqrt{19})) \cdot 9 - 21 \cdot 27}{27}$

Étape 11.2.4.12

Multipliez $- 2$ par $17$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1265 + 302 \sqrt{19} + 1515 - 300 \sqrt{19} + (85 - 34 \sqrt{19}) \cdot 9 - 21 \cdot 27}{27}$

Étape 11.2.4.13

Appliquez la propriété distributive.

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1265 + 302 \sqrt{19} + 1515 - 300 \sqrt{19} + 85 \cdot 9 - 34 \sqrt{19} \cdot 9 - 21 \cdot 27}{27}$

Étape 11.2.4.14

Multipliez $85$ par $9$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1265 + 302 \sqrt{19} + 1515 - 300 \sqrt{19} + 765 - 34 \sqrt{19} \cdot 9 - 21 \cdot 27}{27}$

Étape 11.2.4.15

Multipliez $9$ par $- 34$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1265 + 302 \sqrt{19} + 1515 - 300 \sqrt{19} + 765 - 306 \sqrt{19} - 21 \cdot 27}{27}$

Étape 11.2.4.16

Multipliez $- 21$ par $27$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1265 + 302 \sqrt{19} + 1515 - 300 \sqrt{19} + 765 - 306 \sqrt{19} - 567}{27}$

Étape 11.2.5

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 11.2.5.1

Additionnez $- 1265$ et $1515$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{250 + 302 \sqrt{19} - 300 \sqrt{19} + 765 - 306 \sqrt{19} - 567}{27}$

Étape 11.2.5.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 11.2.5.2.1

Additionnez $250$ et $765$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{1015 + 302 \sqrt{19} - 300 \sqrt{19} - 306 \sqrt{19} - 567}{27}$

Étape 11.2.5.2.2

Soustrayez $567$ de $1015$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{448 + 302 \sqrt{19} - 300 \sqrt{19} - 306 \sqrt{19}}{27}$

Étape 11.2.5.3

Soustrayez $300 \sqrt{19}$ de $302 \sqrt{19}$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{448 + 2 \sqrt{19} - 306 \sqrt{19}}{27}$

Étape 11.2.5.4

Soustrayez $306 \sqrt{19}$ de $2 \sqrt{19}$ .

$g (- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{448 - 304 \sqrt{19}}{27}$

Étape 11.2.6

La réponse finale est $\frac{448 - 304 \sqrt{19}}{27}$ .

$y = \frac{448 - 304 \sqrt{19}}{27}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 10$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}$ dans le numérateur.

$6 \frac{- (5 + 2 \sqrt{19})}{3} + 10$

Étape 13.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 (2) \frac{- (5 + 2 \sqrt{19})}{3} + 10$

Étape 13.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 2 \frac{- (5 + 2 \sqrt{19})}{3} + 10$

Étape 13.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$2 (- (5 + 2 \sqrt{19})) + 10$

Étape 13.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 (5 + 2 \sqrt{19}) + 10$

Étape 13.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \cdot 5 - 2 (2 \sqrt{19}) + 10$

Étape 13.1.4

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$- 10 - 2 (2 \sqrt{19}) + 10$

Étape 13.1.5

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 10 - 4 \sqrt{19} + 10$

Étape 13.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 13.2.1

Additionnez $- 10$ et $10$ .

$0 - 4 \sqrt{19}$

Étape 13.2.2

Soustrayez $4 \sqrt{19}$ de $0$ .

$- 4 \sqrt{19}$

Étape 14

$x = - \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}$ dans l’expression.

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = {(- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{3} + 5 {(- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 15.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{3} + 5 {(- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{{(5 + 2 \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}}) + 5 {(- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(5 + 2 \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}} + 5 {(- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(5 + 2 \sqrt{19})}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.4

Utilisez le théorème du binôme.

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{5^{3} + 3 \cdot (5^{2} (2 \sqrt{19})) + 3 \cdot (5 {(2 \sqrt{19})}^{2}) + {(2 \sqrt{19})}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.5.1

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 + 3 \cdot (5^{2} (2 \sqrt{19})) + 3 \cdot (5 {(2 \sqrt{19})}^{2}) + {(2 \sqrt{19})}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.5.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 + 3 \cdot (25 (2 \sqrt{19})) + 3 \cdot (5 {(2 \sqrt{19})}^{2}) + {(2 \sqrt{19})}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.5.3

Multipliez $3$ par $25$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 + 75 (2 \sqrt{19}) + 3 \cdot (5 {(2 \sqrt{19})}^{2}) + {(2 \sqrt{19})}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.5.4

Multipliez $2$ par $75$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 + 150 \sqrt{19} + 3 \cdot (5 {(2 \sqrt{19})}^{2}) + {(2 \sqrt{19})}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.5.5

Multipliez $3$ par $5$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 + 150 \sqrt{19} + 15 {(2 \sqrt{19})}^{2} + {(2 \sqrt{19})}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.5.6

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{19}$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 + 150 \sqrt{19} + 15 (2^{2} {\sqrt{19}}^{2}) + {(2 \sqrt{19})}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.5.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 + 150 \sqrt{19} + 15 (4 {\sqrt{19}}^{2}) + {(2 \sqrt{19})}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.5.8

Réécrivez ${\sqrt{19}}^{2}$ comme $19$ .

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Étape 15.2.1.5.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{19}$ comme $19^{\frac{1}{2}}$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 + 150 \sqrt{19} + 15 (4 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(2 \sqrt{19})}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.5.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 + 150 \sqrt{19} + 15 (4 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(2 \sqrt{19})}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.5.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 + 150 \sqrt{19} + 15 (4 \cdot 19^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{19})}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.5.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.5.8.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 15.2.1.5.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 + 150 \sqrt{19} + 15 (4 \cdot 19) + {(2 \sqrt{19})}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.5.8.5

Évaluez l’exposant.

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 + 150 \sqrt{19} + 15 (4 \cdot 19) + {(2 \sqrt{19})}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.5.9

Multipliez $15 (4 \cdot 19)$ .

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Étape 15.2.1.5.9.1

Multipliez $4$ par $19$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 + 150 \sqrt{19} + 15 \cdot 76 + {(2 \sqrt{19})}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.5.9.2

Multipliez $15$ par $76$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 + 150 \sqrt{19} + 1140 + {(2 \sqrt{19})}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.5.10

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{19}$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 + 150 \sqrt{19} + 1140 + 2^{3} {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.5.11

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 + 150 \sqrt{19} + 1140 + 8 {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 5 {(- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.5.12

Réécrivez ${\sqrt{19}}^{3}$ comme $\sqrt{19^{3}}$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 + 150 \sqrt{19} + 1140 + 8 \sqrt{19^{3}}}{27} + 5 {(- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.5.13

Élevez $19$ à la puissance $3$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 + 150 \sqrt{19} + 1140 + 8 \sqrt{6859}}{27} + 5 {(- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.5.14

Réécrivez $6859$ comme $19^{2} \cdot 19$ .

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Étape 15.2.1.5.14.1

Factorisez $361$ à partir de $6859$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 + 150 \sqrt{19} + 1140 + 8 \sqrt{361 (19)}}{27} + 5 {(- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.5.14.2

Réécrivez $361$ comme $19^{2}$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 + 150 \sqrt{19} + 1140 + 8 \sqrt{19^{2} \cdot 19}}{27} + 5 {(- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.5.15

Extrayez les termes de sous le radical.

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 + 150 \sqrt{19} + 1140 + 8 (19 \sqrt{19})}{27} + 5 {(- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.5.16

Multipliez $19$ par $8$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{125 + 150 \sqrt{19} + 1140 + 152 \sqrt{19}}{27} + 5 {(- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.6

Additionnez $125$ et $1140$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 150 \sqrt{19} + 152 \sqrt{19}}{27} + 5 {(- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.7

Additionnez $150 \sqrt{19}$ et $152 \sqrt{19}$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + 5 {(- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{2} - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.8

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 15.2.1.8.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})}^{2}) - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.8.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(5 + 2 \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}})) - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.9

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (1 (\frac{{(5 + 2 \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}})) - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.10

Multipliez $\frac{{(5 + 2 \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{{(5 + 2 \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}}) - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.11

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{{(5 + 2 \sqrt{19})}^{2}}{9}) - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.12

Réécrivez ${(5 + 2 \sqrt{19})}^{2}$ comme $(5 + 2 \sqrt{19}) (5 + 2 \sqrt{19})$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{(5 + 2 \sqrt{19}) (5 + 2 \sqrt{19})}{9}) - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.13

Développez $(5 + 2 \sqrt{19}) (5 + 2 \sqrt{19})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 15.2.1.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{5 (5 + 2 \sqrt{19}) + 2 \sqrt{19} (5 + 2 \sqrt{19})}{9}) - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{5 \cdot 5 + 5 (2 \sqrt{19}) + 2 \sqrt{19} (5 + 2 \sqrt{19})}{9}) - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.13.3

Appliquez la propriété distributive.

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{5 \cdot 5 + 5 (2 \sqrt{19}) + 2 \sqrt{19} \cdot 5 + 2 \sqrt{19} (2 \sqrt{19})}{9}) - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.14

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 15.2.1.14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.14.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{25 + 5 (2 \sqrt{19}) + 2 \sqrt{19} \cdot 5 + 2 \sqrt{19} (2 \sqrt{19})}{9}) - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.14.1.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{25 + 10 \sqrt{19} + 2 \sqrt{19} \cdot 5 + 2 \sqrt{19} (2 \sqrt{19})}{9}) - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.14.1.3

Multipliez $5$ par $2$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{25 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + 2 \sqrt{19} (2 \sqrt{19})}{9}) - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.14.1.4

Multipliez $2 \sqrt{19} (2 \sqrt{19})$ .

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Étape 15.2.1.14.1.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{25 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + 4 \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.14.1.4.2

Élevez $\sqrt{19}$ à la puissance $1$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{25 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + 4 (\sqrt{19} \sqrt{19})}{9}) - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.14.1.4.3

Élevez $\sqrt{19}$ à la puissance $1$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{25 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + 4 (\sqrt{19} \sqrt{19})}{9}) - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.14.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{25 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + 4 {\sqrt{19}}^{1 + 1}}{9}) - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.14.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{25 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + 4 {\sqrt{19}}^{2}}{9}) - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.14.1.5

Réécrivez ${\sqrt{19}}^{2}$ comme $19$ .

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Étape 15.2.1.14.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{19}$ comme $19^{\frac{1}{2}}$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{25 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + 4 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}) - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.14.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{25 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + 4 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}) - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.14.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{25 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + 4 \cdot 19^{\frac{2}{2}}}{9}) - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.14.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.14.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{25 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + 4 \cdot 19^{\frac{2}{2}}}{9}) - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.14.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{25 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + 4 \cdot 19}{9}) - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.14.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{25 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + 4 \cdot 19}{9}) - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.14.1.6

Multipliez $4$ par $19$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{25 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + 76}{9}) - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.14.2

Additionnez $25$ et $76$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{101 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19}}{9}) - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.14.3

Additionnez $10 \sqrt{19}$ et $10 \sqrt{19}$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + 5 (\frac{101 + 20 \sqrt{19}}{9}) - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.15

Associez $5$ et $\frac{101 + 20 \sqrt{19}}{9}$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + \frac{5 (101 + 20 \sqrt{19})}{9} - 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.16

Multipliez $- 17 (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3})$ .

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Étape 15.2.1.16.1

Multipliez $- 1$ par $- 17$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + \frac{5 (101 + 20 \sqrt{19})}{9} + 17 (\frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 21$

Étape 15.2.1.16.2

Associez $17$ et $\frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + \frac{5 (101 + 20 \sqrt{19})}{9} + \frac{17 (5 + 2 \sqrt{19})}{3} - 21$

Étape 15.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 15.2.2.1

Multipliez $\frac{5 (101 + 20 \sqrt{19})}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + \frac{5 (101 + 20 \sqrt{19})}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{17 (5 + 2 \sqrt{19})}{3} - 21$

Étape 15.2.2.2

Multipliez $\frac{5 (101 + 20 \sqrt{19})}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + \frac{5 (101 + 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{17 (5 + 2 \sqrt{19})}{3} - 21$

Étape 15.2.2.3

Multipliez $\frac{17 (5 + 2 \sqrt{19})}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + \frac{5 (101 + 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{17 (5 + 2 \sqrt{19})}{3} \cdot \frac{9}{9} - 21$

Étape 15.2.2.4

Multipliez $\frac{17 (5 + 2 \sqrt{19})}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + \frac{5 (101 + 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{17 (5 + 2 \sqrt{19}) \cdot 9}{3 \cdot 9} - 21$

Étape 15.2.2.5

Écrivez $- 21$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + \frac{5 (101 + 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{17 (5 + 2 \sqrt{19}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 21}{1}$

Étape 15.2.2.6

Multipliez $\frac{- 21}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + \frac{5 (101 + 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{17 (5 + 2 \sqrt{19}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 21}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Étape 15.2.2.7

Multipliez $\frac{- 21}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + \frac{5 (101 + 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{17 (5 + 2 \sqrt{19}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 21 \cdot 27}{27}$

Étape 15.2.2.8

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 3$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + \frac{5 (101 + 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{17 (5 + 2 \sqrt{19}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 21 \cdot 27}{27}$

Étape 15.2.2.9

Multipliez $3$ par $9$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + \frac{5 (101 + 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + \frac{17 (5 + 2 \sqrt{19}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 21 \cdot 27}{27}$

Étape 15.2.2.10

Multipliez $3$ par $9$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{1265 + 302 \sqrt{19}}{27} + \frac{5 (101 + 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + \frac{17 (5 + 2 \sqrt{19}) \cdot 9}{27} + \frac{- 21 \cdot 27}{27}$

Étape 15.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (1265 + 302 \sqrt{19}) + 5 (101 + 20 \sqrt{19}) \cdot 3 + 17 (5 + 2 \sqrt{19}) \cdot 9 - 21 \cdot 27}{27}$

Étape 15.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 1265 - (302 \sqrt{19}) + 5 (101 + 20 \sqrt{19}) \cdot 3 + 17 (5 + 2 \sqrt{19}) \cdot 9 - 21 \cdot 27}{27}$

Étape 15.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $1265$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1265 - (302 \sqrt{19}) + 5 (101 + 20 \sqrt{19}) \cdot 3 + 17 (5 + 2 \sqrt{19}) \cdot 9 - 21 \cdot 27}{27}$

Étape 15.2.4.3

Multipliez $302$ par $- 1$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1265 - 302 \sqrt{19} + 5 (101 + 20 \sqrt{19}) \cdot 3 + 17 (5 + 2 \sqrt{19}) \cdot 9 - 21 \cdot 27}{27}$

Étape 15.2.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1265 - 302 \sqrt{19} + (5 \cdot 101 + 5 (20 \sqrt{19})) \cdot 3 + 17 (5 + 2 \sqrt{19}) \cdot 9 - 21 \cdot 27}{27}$

Étape 15.2.4.5

Multipliez $5$ par $101$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1265 - 302 \sqrt{19} + (505 + 5 (20 \sqrt{19})) \cdot 3 + 17 (5 + 2 \sqrt{19}) \cdot 9 - 21 \cdot 27}{27}$

Étape 15.2.4.6

Multipliez $20$ par $5$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1265 - 302 \sqrt{19} + (505 + 100 \sqrt{19}) \cdot 3 + 17 (5 + 2 \sqrt{19}) \cdot 9 - 21 \cdot 27}{27}$

Étape 15.2.4.7

Appliquez la propriété distributive.

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1265 - 302 \sqrt{19} + 505 \cdot 3 + 100 \sqrt{19} \cdot 3 + 17 (5 + 2 \sqrt{19}) \cdot 9 - 21 \cdot 27}{27}$

Étape 15.2.4.8

Multipliez $505$ par $3$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1265 - 302 \sqrt{19} + 1515 + 100 \sqrt{19} \cdot 3 + 17 (5 + 2 \sqrt{19}) \cdot 9 - 21 \cdot 27}{27}$

Étape 15.2.4.9

Multipliez $3$ par $100$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1265 - 302 \sqrt{19} + 1515 + 300 \sqrt{19} + 17 (5 + 2 \sqrt{19}) \cdot 9 - 21 \cdot 27}{27}$

Étape 15.2.4.10

Appliquez la propriété distributive.

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1265 - 302 \sqrt{19} + 1515 + 300 \sqrt{19} + (17 \cdot 5 + 17 (2 \sqrt{19})) \cdot 9 - 21 \cdot 27}{27}$

Étape 15.2.4.11

Multipliez $17$ par $5$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1265 - 302 \sqrt{19} + 1515 + 300 \sqrt{19} + (85 + 17 (2 \sqrt{19})) \cdot 9 - 21 \cdot 27}{27}$

Étape 15.2.4.12

Multipliez $2$ par $17$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1265 - 302 \sqrt{19} + 1515 + 300 \sqrt{19} + (85 + 34 \sqrt{19}) \cdot 9 - 21 \cdot 27}{27}$

Étape 15.2.4.13

Appliquez la propriété distributive.

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1265 - 302 \sqrt{19} + 1515 + 300 \sqrt{19} + 85 \cdot 9 + 34 \sqrt{19} \cdot 9 - 21 \cdot 27}{27}$

Étape 15.2.4.14

Multipliez $85$ par $9$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1265 - 302 \sqrt{19} + 1515 + 300 \sqrt{19} + 765 + 34 \sqrt{19} \cdot 9 - 21 \cdot 27}{27}$

Étape 15.2.4.15

Multipliez $9$ par $34$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1265 - 302 \sqrt{19} + 1515 + 300 \sqrt{19} + 765 + 306 \sqrt{19} - 21 \cdot 27}{27}$

Étape 15.2.4.16

Multipliez $- 21$ par $27$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1265 - 302 \sqrt{19} + 1515 + 300 \sqrt{19} + 765 + 306 \sqrt{19} - 567}{27}$

Étape 15.2.5

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 15.2.5.1

Additionnez $- 1265$ et $1515$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{250 - 302 \sqrt{19} + 300 \sqrt{19} + 765 + 306 \sqrt{19} - 567}{27}$

Étape 15.2.5.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 15.2.5.2.1

Additionnez $250$ et $765$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{1015 - 302 \sqrt{19} + 300 \sqrt{19} + 306 \sqrt{19} - 567}{27}$

Étape 15.2.5.2.2

Soustrayez $567$ de $1015$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{448 - 302 \sqrt{19} + 300 \sqrt{19} + 306 \sqrt{19}}{27}$

Étape 15.2.5.3

Additionnez $- 302 \sqrt{19}$ et $300 \sqrt{19}$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{448 - 2 \sqrt{19} + 306 \sqrt{19}}{27}$

Étape 15.2.5.4

Additionnez $- 2 \sqrt{19}$ et $306 \sqrt{19}$ .

$g (- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{448 + 304 \sqrt{19}}{27}$

Étape 15.2.6

La réponse finale est $\frac{448 + 304 \sqrt{19}}{27}$ .

$y = \frac{448 + 304 \sqrt{19}}{27}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $g (x) = x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21$ .

$(- \frac{5 - 2 \sqrt{19}}{3}, \frac{448 - 304 \sqrt{19}}{27})$ est un minimum local

$(- \frac{5 + 2 \sqrt{19}}{3}, \frac{448 + 304 \sqrt{19}}{27})$ est un maximum local

Étape 17