Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{3} - 2.4 x + 3$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 2.4 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2.4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2.4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2.4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2.4 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 2.4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2.4 x$ par rapport à $x$ est $- 2.4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 2.4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 2.4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 2.4$ par $1$ .

$3 x^{2} - 2.4 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 2.4 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $3 x^{2} - 2.4$ et $0$ .

$3 x^{2} - 2.4$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 2.4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2.4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2.4)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2.4)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2.4)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 2.4)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $- 2.4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2.4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $6 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 x$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x^{2} - 2.4 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 2.4 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2.4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2.4 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2.4 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2.4 x]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 2.4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2.4 x$ par rapport à $x$ est $- 2.4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2.4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2.4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- 2.4$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2.4 + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2.4 + 0$

Étape 4.1.3.2

Additionnez $3 x^{2} - 2.4$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2.4$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 2.4$ .

$3 x^{2} - 2.4$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 2.4 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 2.4 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $2.4$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = 2.4$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 2.4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 2.4$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2.4}{3}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2.4}{3}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{2.4}{3}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Divisez $2.4$ par $3$ .

$x^{2} = 0.8$

Étape 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0.8}$

Étape 5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{0.8}$

Étape 5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{0.8}$

Étape 5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{0.8}, - \sqrt{0.8}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \sqrt{0.8}, - \sqrt{0.8}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \sqrt{0.8}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (\sqrt{0.8})$

Étape 9

Multipliez $6$ par $\sqrt{0.8}$ .

$6 \sqrt{0.8}$

Étape 10

$x = \sqrt{0.8}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \sqrt{0.8}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \sqrt{0.8}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\sqrt{0.8}$ dans l’expression.

$f (\sqrt{0.8}) = {(\sqrt{0.8})}^{3} - 2.4 \sqrt{0.8} + 3$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{0.8}}^{3}$ comme $\sqrt{{0.8}^{3}}$ .

$f (\sqrt{0.8}) = \sqrt{{0.8}^{3}} - 2.4 \sqrt{0.8} + 3$

Étape 11.2.1.2

Élevez $0.8$ à la puissance $3$ .

$f (\sqrt{0.8}) = \sqrt{0.512} - 2.4 \sqrt{0.8} + 3$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $- 2.4$ par $\sqrt{0.8}$ .

$f (\sqrt{0.8}) = \sqrt{0.512} - 2.14662525 + 3$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 11.2.2.1

Soustrayez $2.14662525$ de $\sqrt{0.512}$ .

$f (\sqrt{0.8}) = - 1.4310835 + 3$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $- 1.4310835$ et $3$ .

$f (\sqrt{0.8}) = 1.56891649$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $1.56891649$ .

$y = 1.56891649$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \sqrt{0.8}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (- \sqrt{0.8})$

Étape 13

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- 6 \sqrt{0.8}$

Étape 14

$x = - \sqrt{0.8}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \sqrt{0.8}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - \sqrt{0.8}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- \sqrt{0.8}$ dans l’expression.

$f (- \sqrt{0.8}) = {(- \sqrt{0.8})}^{3} - 2.4 (- \sqrt{0.8}) + 3$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{0.8}$ .

$f (- \sqrt{0.8}) = {(- 1)}^{3} {\sqrt{0.8}}^{3} - 2.4 (- \sqrt{0.8}) + 3$

Étape 15.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{0.8}) = - {\sqrt{0.8}}^{3} - 2.4 (- \sqrt{0.8}) + 3$

Étape 15.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{0.8}}^{3}$ comme $\sqrt{{0.8}^{3}}$ .

$f (- \sqrt{0.8}) = - \sqrt{{0.8}^{3}} - 2.4 (- \sqrt{0.8}) + 3$

Étape 15.2.1.4

Élevez $0.8$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{0.8}) = - \sqrt{0.512} - 2.4 (- \sqrt{0.8}) + 3$

Étape 15.2.1.5

Multipliez $- 2.4 (- \sqrt{0.8})$ .

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Étape 15.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 2.4$ .

$f (- \sqrt{0.8}) = - \sqrt{0.512} + 2.4 \sqrt{0.8} + 3$

Étape 15.2.1.5.2

Multipliez $2.4$ par $\sqrt{0.8}$ .

$f (- \sqrt{0.8}) = - \sqrt{0.512} + 2.14662525 + 3$

Étape 15.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 15.2.2.1

Additionnez $- \sqrt{0.512}$ et $2.14662525$ .

$f (- \sqrt{0.8}) = 1.4310835 + 3$

Étape 15.2.2.2

Additionnez $1.4310835$ et $3$ .

$f (- \sqrt{0.8}) = 4.4310835$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $4.4310835$ .

$y = 4.4310835$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{3} - 2.4 x + 3$ .

$(\sqrt{0.8}, 1.56891649)$ est un minimum local

$(- \sqrt{0.8}, 4.4310835)$ est un maximum local

Étape 17