Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x - 75$

Étape 1

Définissez $x^{4} - 4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x - 75$ égal à $0$ .

$x^{4} - 4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x - 75 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$- 4 x^{3} - 20 x + x^{4} - 10 x^{2} - 75 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $- 4 x$ à partir de $- 4 x^{3} - 20 x$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $- 4 x$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 20 x + x^{4} - 10 x^{2} - 75 = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $- 4 x$ à partir de $- 20 x$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot 5 + x^{4} - 10 x^{2} - 75 = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $- 4 x$ à partir de $- 4 x (x^{2}) - 4 x (5)$ .

$- 4 x (x^{2} + 5) + x^{4} - 10 x^{2} - 75 = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} + 5) + {(x^{2})}^{2} - 10 x^{2} - 75 = 0$

Étape 2.1.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- 4 x (x^{2} + 5) + u^{2} - 10 u - 75 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $u^{2} - 10 u - 75$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 75$ et dont la somme est $- 10$ .

$- 15, 5$

Étape 2.1.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 4 x (x^{2} + 5) + (u - 15) (u + 5) = 0$

Étape 2.1.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} + 5) + (x^{2} - 15) (x^{2} + 5) = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez $x^{2} + 5$ à partir de $- 4 x (x^{2} + 5) + (x^{2} - 15) (x^{2} + 5)$ .

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Étape 2.1.7.1

Factorisez $x^{2} + 5$ à partir de $- 4 x (x^{2} + 5)$ .

$(x^{2} + 5) (- 4 x) + (x^{2} - 15) (x^{2} + 5) = 0$

Étape 2.1.7.2

Factorisez $x^{2} + 5$ à partir de $(x^{2} - 15) (x^{2} + 5)$ .

$(x^{2} + 5) (- 4 x) + (x^{2} + 5) (x^{2} - 15) = 0$

Étape 2.1.7.3

Factorisez $x^{2} + 5$ à partir de $(x^{2} + 5) (- 4 x) + (x^{2} + 5) (x^{2} - 15)$ .

$(x^{2} + 5) (- 4 x + x^{2} - 15) = 0$

Étape 2.1.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x^{2} + 5) (x^{2} - 4 x - 15) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

$x^{2} - 4 x - 15 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x^{2} + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x^{2} + 5$ égal à $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $x^{2} + 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 5$

Étape 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Étape 2.3.2.3.1

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Étape 2.3.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (5)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Étape 2.3.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{5}$

Étape 2.3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{5}$

Étape 2.3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{5}$

Étape 2.3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Étape 2.4

Définissez $x^{2} - 4 x - 15$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{2} - 4 x - 15$ égal à $0$ .

$x^{2} - 4 x - 15 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} - 4 x - 15 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 4$ et $c = - 15$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 15)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez

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Étape 2.4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.2.3.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 15$ .

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Étape 2.4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 15$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 60}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.3

Additionnez $16$ et $60$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.4

Réécrivez $76$ comme $2^{2} \cdot 19$ .

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Étape 2.4.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $76$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{19}}{2}$

Étape 2.4.2.3.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{19}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{19}$

Étape 2.4.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 2 + \sqrt{19}, 2 - \sqrt{19}$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} + 5) (x^{2} - 4 x - 15) = 0$ vraie.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}, 2 + \sqrt{19}, 2 - \sqrt{19}$

Étape 3