Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 42 x^{2} - 8 x + 41$

Étape 1

Définissez $x^{4} - 8 x^{3} + 42 x^{2} - 8 x + 41$ égal à $0$ .

$x^{4} - 8 x^{3} + 42 x^{2} - 8 x + 41 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$- 8 x^{3} - 8 x + x^{4} + 42 x^{2} + 41 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $- 8 x$ à partir de $- 8 x^{3} - 8 x$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $- 8 x$ à partir de $- 8 x^{3}$ .

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x + x^{4} + 42 x^{2} + 41 = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $- 8 x$ à partir de $- 8 x$ .

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x \cdot 1 + x^{4} + 42 x^{2} + 41 = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $- 8 x$ à partir de $- 8 x (x^{2}) - 8 x (1)$ .

$- 8 x (x^{2} + 1) + x^{4} + 42 x^{2} + 41 = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} + 42 x^{2} + 41 = 0$

Étape 2.1.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- 8 x (x^{2} + 1) + u^{2} + 42 u + 41 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $u^{2} + 42 u + 41$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $41$ et dont la somme est $42$ .

$1, 41$

Étape 2.1.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 8 x (x^{2} + 1) + (u + 1) (u + 41) = 0$

Étape 2.1.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 41) = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $- 8 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 41)$ .

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Étape 2.1.7.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $- 8 x (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- 8 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 41) = 0$

Étape 2.1.7.2

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $(x^{2} + 1) (- 8 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 41)$ .

$(x^{2} + 1) (- 8 x + x^{2} + 41) = 0$

Étape 2.1.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 8 x + 41) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$x^{2} - 8 x + 41 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x^{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x^{2} + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $x^{2} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 1$

Étape 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 2.3.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 2.3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 2.3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 2.3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 2.4

Définissez $x^{2} - 8 x + 41$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{2} - 8 x + 41$ égal à $0$ .

$x^{2} - 8 x + 41 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} - 8 x + 41 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 8$ et $c = 41$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 41)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez

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Étape 2.4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.2.3.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

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Étape 2.4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $41$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.3

Soustrayez $164$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.4

Réécrivez $- 100$ comme $- 1 (100)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (100)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.7

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.9

Déplacez $10$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

Étape 2.4.2.3.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 10 i}{2}$ .

$x = 4 \pm 5 i$

Étape 2.4.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 4 + 5 i, 4 - 5 i$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} + 1) (x^{2} - 8 x + 41) = 0$ vraie.

$x = i, - i, 4 + 5 i, 4 - 5 i$

Étape 3