Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{5} + x^{3} - 42 x$

Étape 1

Définissez $x^{5} + x^{3} - 42 x$ égal à $0$ .

$x^{5} + x^{3} - 42 x = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5} + x^{3} - 42 x$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} + x^{3} - 42 x = 0$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2} - 42 x = 0$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- 42 x$ .

$x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2} + x \cdot - 42 = 0$

Étape 2.1.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2}$ .

$x (x^{4} + x^{2}) + x \cdot - 42 = 0$

Étape 2.1.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{4} + x^{2}) + x \cdot - 42$ .

$x (x^{4} + x^{2} - 42) = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} + x^{2} - 42) = 0$

Étape 2.1.3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x (u^{2} + u - 42) = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez $u^{2} + u - 42$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 42$ et dont la somme est $1$ .

$- 6, 7$

Étape 2.1.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x ((u - 6) (u + 7)) = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez.

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Étape 2.1.5.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 6) (x^{2} + 7)) = 0$

Étape 2.1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x^{2} - 6) (x^{2} + 7) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 6 = 0$

$x^{2} + 7 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{2} - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{2} - 6$ égal à $0$ .

$x^{2} - 6 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} - 6 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 6$

Étape 2.4.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{6}$

Étape 2.4.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.4.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{6}$

Étape 2.4.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{6}$

Étape 2.4.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Étape 2.5

Définissez $x^{2} + 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x^{2} + 7$ égal à $0$ .

$x^{2} + 7 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $x^{2} + 7 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 7$

Étape 2.5.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 7}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 7}$ .

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Étape 2.5.2.3.1

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (7)}$

Étape 2.5.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (7)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$

Étape 2.5.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{7}$

Étape 2.5.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{7}$

Étape 2.5.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{7}$

Étape 2.5.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{7}, - i \sqrt{7}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x^{2} - 6) (x^{2} + 7) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}, i \sqrt{7}, - i \sqrt{7}$

Étape 3