Pré-calcul Exemples

$\sin (θ) = - \frac{3}{7}$

Étape 1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\sin (θ) = \frac{opposé}{hypoténuse}$

Étape 2

Déterminez le côté adjacent du triangle du cercle unité. L’hypoténuse et le côté opposé étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Adjacent = - \sqrt{{hypoténuse}^{2} - {opposé}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Adjacent = - \sqrt{{(7)}^{2} - {(- 3)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 4.1

Inversez $\sqrt{{(7)}^{2} - {(- 3)}^{2}}$ .

Adjacent $= - \sqrt{{(7)}^{2} - {(- 3)}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

Adjacent $= - \sqrt{49 - {(- 3)}^{2}}$

Étape 4.3

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

Adjacent $= - \sqrt{49 - 1 \cdot 9}$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $9$ .

Adjacent $= - \sqrt{49 - 9}$

Étape 4.5

Soustrayez $9$ de $49$ .

Adjacent $= - \sqrt{40}$

Étape 4.6

Réécrivez $40$ comme $2^{2} \cdot 10$ .

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Étape 4.6.1

Factorisez $4$ à partir de $40$ .

Adjacent $= - \sqrt{4 (10)}$

Étape 4.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

Adjacent $= - \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

Étape 4.7

Extrayez les termes de sous le radical.

Adjacent $= - (2 \sqrt{10})$

Étape 4.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

Adjacent $= - 2 \sqrt{10}$

Étape 5

Déterminez la valeur du cosinus.

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Étape 5.1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer la valeur de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 5.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cos (θ) = \frac{- 2 \sqrt{10}}{7}$

Étape 5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{10}}{7}$

Étape 6

Déterminez la valeur de la tangente.

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Étape 6.1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer la valeur de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\tan (θ) = \frac{- 3}{- 2 \sqrt{10}}$

Étape 6.3

Simplifiez la valeur de $\tan (θ)$ .

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Étape 6.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\tan (θ) = \frac{3}{(2) \sqrt{10}}$

Étape 6.3.2

Multipliez $\frac{3}{2 \sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\tan (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Étape 6.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.3.1

Multipliez $\frac{3}{2 \sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{10}}{2 \sqrt{10} \sqrt{10}}$

Étape 6.3.3.2

Déplacez $\sqrt{10}$ .

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{10}}{2 (\sqrt{10} \sqrt{10})}$

Étape 6.3.3.3

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{10}}{2 (\sqrt{10} \sqrt{10})}$

Étape 6.3.3.4

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{10}}{2 (\sqrt{10} \sqrt{10})}$

Étape 6.3.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{10}}{2 {\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Étape 6.3.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{10}}{2 {\sqrt{10}}^{2}}$

Étape 6.3.3.7

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 6.3.3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{10}}{2 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.3.3.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{10}}{2 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.3.3.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{10}}{2 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.3.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.3.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{10}}{2 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.3.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{10}}{2 \cdot 10}$

Étape 6.3.3.7.5

Évaluez l’exposant.

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{10}}{2 \cdot 10}$

Étape 6.3.4

Multipliez $2$ par $10$ .

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{10}}{20}$

Étape 7

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 7.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (θ) = \frac{- 2 \sqrt{10}}{- 3}$

Étape 7.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{10}}{3}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la sécante.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer la valeur de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (θ) = \frac{7}{- 2 \sqrt{10}}$

Étape 8.3

Simplifiez la valeur de $\sec (θ)$ .

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Étape 8.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sec (θ) = - \frac{7}{(2) \sqrt{10}}$

Étape 8.3.2

Multipliez $\frac{7}{2 \sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sec (θ) = - (\frac{7}{2 \sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})$

Étape 8.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.3.1

Multipliez $\frac{7}{2 \sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{7 \sqrt{10}}{2 \sqrt{10} \sqrt{10}}$

Étape 8.3.3.2

Déplacez $\sqrt{10}$ .

$\sec (θ) = - \frac{7 \sqrt{10}}{2 (\sqrt{10} \sqrt{10})}$

Étape 8.3.3.3

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{7 \sqrt{10}}{2 (\sqrt{10} \sqrt{10})}$

Étape 8.3.3.4

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{7 \sqrt{10}}{2 (\sqrt{10} \sqrt{10})}$

Étape 8.3.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (θ) = - \frac{7 \sqrt{10}}{2 {\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Étape 8.3.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{7 \sqrt{10}}{2 {\sqrt{10}}^{2}}$

Étape 8.3.3.7

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 8.3.3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{7 \sqrt{10}}{2 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.3.3.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = - \frac{7 \sqrt{10}}{2 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.3.3.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sec (θ) = - \frac{7 \sqrt{10}}{2 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.3.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.3.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sec (θ) = - \frac{7 \sqrt{10}}{2 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.3.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sec (θ) = - \frac{7 \sqrt{10}}{2 \cdot 10}$

Étape 8.3.3.7.5

Évaluez l’exposant.

$\sec (θ) = - \frac{7 \sqrt{10}}{2 \cdot 10}$

Étape 8.3.4

Multipliez $2$ par $10$ .

$\sec (θ) = - \frac{7 \sqrt{10}}{20}$

Étape 9

Déterminez la valeur de la cosécante.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (θ) = \frac{7}{- 3}$

Étape 9.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\csc (θ) = - \frac{7}{3}$

Étape 10

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (θ) = - \frac{3}{7}$

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{10}}{7}$

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{10}}{20}$

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{10}}{3}$

$\sec (θ) = - \frac{7 \sqrt{10}}{20}$

$\csc (θ) = - \frac{7}{3}$