Pré-calcul Exemples

$z^{4} = 81 i$

Étape 1

Remplacez $z^{4}$ par $u$ .

$u^{4} = 81 i$

Étape 2

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 3

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles de $a = 0$ et $b = 81$ .

$| z | = \sqrt{81^{2}}$

Étape 5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = 81$

Étape 6

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{81}{0})$

Étape 7

Comme l’argument est indéfini et $b$ est positif, l’angle du point sur le plan complexe est $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Étape 8

Remplacez les valeurs de $θ = \frac{π}{2}$ et $| z | = 81$ .

$81 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 9

Remplacez le côté droit de l’équation par la forme trigonométrique.

$u^{4} = 81 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 10

Utilisez le théorème de De Moivre pour déterminer une équation pour $u$ .

$r^{4} (c o s (4 θ) + i s i n (4 θ)) = 81 i = 81 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 11

Associez le module de la forme trigonométrique à $r^{4}$ pour déterminer la valeur de $r$ .

$r^{4} = 81$

Étape 12

Résolvez l’équation pour $r$ .

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Étape 12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt[4]{81}$

Étape 12.2

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{81}$ .

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Étape 12.2.1

Réécrivez $81$ comme $3^{4}$ .

$r = \pm \sqrt[4]{3^{4}}$

Étape 12.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$r = \pm 3$

Étape 12.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$r = 3$

Étape 12.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$r = - 3$

Étape 12.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$r = 3, - 3$

Étape 13

Déterminez la valeur approximative de $r$ .

$r = 3$

Étape 14

Déterminer les valeurs possibles de $θ$ .

$c o s (4 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)$ et $s i n (4 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)$

Étape 15

Déterminer toutes les valeurs possibles de $θ$ mène à l’équation $4 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$

Étape 16

Déterminez la valeur de $θ$ pour $r = 0$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)$

Étape 17

Résolvez l’équation pour $θ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1

Simplifiez

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Étape 17.1.1

Multipliez $2 π (0)$ .

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Étape 17.1.1.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 0 π$

Étape 17.1.1.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 0$

Étape 17.1.2

Additionnez $\frac{π}{2}$ et $0$ .

$4 θ = \frac{π}{2}$

Étape 17.2

Divisez chaque terme dans $4 θ = \frac{π}{2}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 17.2.1

Divisez chaque terme dans $4 θ = \frac{π}{2}$ par $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Étape 17.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 17.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 17.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Étape 17.2.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Étape 17.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 17.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 17.2.3.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 17.2.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{π}{2 \cdot 4}$

Étape 17.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$θ = \frac{π}{8}$

Étape 18

Utilisez les valeurs de $θ$ et $r$ pour déterminer une solution à l’équation $u^{4} = 81 i$ .

$u_{0} = 3 (\cos (\frac{π}{8}) + i \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 19

Convertissez la solution en forme rectangulaire.

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Étape 19.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{8})$ est $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 19.1.1.1

Réécrivez $\frac{π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$u_{0} = 3 (\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 19.1.1.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{0} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 19.1.1.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le cosinus est positif dans le premier quadrant.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 19.1.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 19.1.1.5

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Étape 19.1.1.5.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 19.1.1.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 19.1.1.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 19.1.1.5.4

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 19.1.1.5.4.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 19.1.1.5.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 19.1.1.5.5

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 19.1.1.5.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 19.1.1.5.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 19.1.1.5.6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 19.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{8})$ est $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 19.1.2.1

Réécrivez $\frac{π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2}))$

Étape 19.1.2.2

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

Étape 19.1.2.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le sinus est positif dans le premier quadrant.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Étape 19.1.2.4

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

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Étape 19.1.2.4.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Étape 19.1.2.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Étape 19.1.2.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})$

Étape 19.1.2.4.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Étape 19.1.2.4.5

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 19.1.2.4.5.1

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

Étape 19.1.2.4.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})$

Étape 19.1.2.4.6

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Étape 19.1.2.4.7

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1.2.4.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Étape 19.1.2.4.7.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}))$

Étape 19.1.3

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Étape 19.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Étape 19.2.2

Associez $3$ et $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{0} = \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Étape 20

Remplacez $u$ par $z^{4}$ pour calculer la valeur de $z$ après le décalage vers la droite.

$z_{0} = 0 + \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Étape 21

Déterminez la valeur de $θ$ pour $r = 1$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (1)$

Étape 22

Résolvez l’équation pour $θ$ .

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Étape 22.1

Simplifiez

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Étape 22.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π$

Étape 22.1.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

Étape 22.1.3

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

Étape 22.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 θ = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

Étape 22.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 θ = \frac{π + 4 π}{2}$

Étape 22.1.6

Additionnez $π$ et $4 π$ .

$4 θ = \frac{5 π}{2}$

Étape 22.2

Divisez chaque terme dans $4 θ = \frac{5 π}{2}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 22.2.1

Divisez chaque terme dans $4 θ = \frac{5 π}{2}$ par $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

Étape 22.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

Étape 22.2.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

Étape 22.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$θ = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 22.2.3.2

Multipliez $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.2.3.2.1

Multipliez $\frac{5 π}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{5 π}{2 \cdot 4}$

Étape 22.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$θ = \frac{5 π}{8}$

Étape 23

Utilisez les valeurs de $θ$ et $r$ pour déterminer une solution à l’équation $u^{4} = 81 i$ .

$u_{1} = 3 (\cos (\frac{5 π}{8}) + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Étape 24

Convertissez la solution en forme rectangulaire.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{5 π}{8})$ est $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.1.1.1

Réécrivez $\frac{5 π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$u_{1} = 3 (\cos (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Étape 24.1.1.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{1} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Étape 24.1.1.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Étape 24.1.1.4

Simplifiez $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ .

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Étape 24.1.1.4.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Étape 24.1.1.4.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Étape 24.1.1.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Étape 24.1.1.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Étape 24.1.1.4.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Étape 24.1.1.4.6

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.1.1.4.6.1

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Étape 24.1.1.4.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Étape 24.1.1.4.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Étape 24.1.1.4.8

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.1.1.4.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Étape 24.1.1.4.8.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Étape 24.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{5 π}{8})$ est $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.1.2.1

Réécrivez $\frac{5 π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}))$

Étape 24.1.2.2

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}))$

Étape 24.1.2.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le sinus est positif dans le deuxième quadrant.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}})$

Étape 24.1.2.4

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ .

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Étape 24.1.2.4.1

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Étape 24.1.2.4.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Étape 24.1.2.4.3

Multipliez $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 24.1.2.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})$

Étape 24.1.2.4.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Étape 24.1.2.4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Étape 24.1.2.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}})$

Étape 24.1.2.4.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Étape 24.1.2.4.7

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.1.2.4.7.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

Étape 24.1.2.4.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}})$

Étape 24.1.2.4.8

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Étape 24.1.2.4.9

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.1.2.4.9.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Étape 24.1.2.4.9.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}))$

Étape 24.1.3

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + \frac{i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Étape 24.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u_{1} = 3 (\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Étape 24.2.2

Associez $3$ et $\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{3 (- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Étape 24.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ .

$u_{1} = \frac{3 (- (\sqrt{2 - \sqrt{2}}) + i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Étape 24.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ .

$u_{1} = \frac{3 (- (\sqrt{2 - \sqrt{2}}) - (- i \sqrt{2 + \sqrt{2}}))}{2}$

Étape 24.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sqrt{2 - \sqrt{2}}) - (- i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ .

$u_{1} = \frac{3 (- (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}))}{2}$

Étape 24.2.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.2.6.1

Réécrivez $- (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ comme $- 1 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ .

$u_{1} = \frac{3 (- 1 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}))}{2}$

Étape 24.2.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$u_{1} = - \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Étape 25

Remplacez $u$ par $z^{4}$ pour calculer la valeur de $z$ après le décalage vers la droite.

$z_{1} = 0 - \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Étape 26

Déterminez la valeur de $θ$ pour $r = 2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (2)$

Étape 27

Résolvez l’équation pour $θ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 4 π$

Étape 27.1.2

Pour écrire $4 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 4 π \cdot \frac{2}{2}$

Étape 27.1.3

Associez $4 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2}$

Étape 27.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 θ = \frac{π + 4 π \cdot 2}{2}$

Étape 27.1.5

Multipliez $2$ par $4$ .

$4 θ = \frac{π + 8 π}{2}$

Étape 27.1.6

Additionnez $π$ et $8 π$ .

$4 θ = \frac{9 π}{2}$

Étape 27.2

Divisez chaque terme dans $4 θ = \frac{9 π}{2}$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.2.1

Divisez chaque terme dans $4 θ = \frac{9 π}{2}$ par $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

Étape 27.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

Étape 27.2.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

Étape 27.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$θ = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 27.2.3.2

Multipliez $\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.2.3.2.1

Multipliez $\frac{9 π}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{9 π}{2 \cdot 4}$

Étape 27.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$θ = \frac{9 π}{8}$

Étape 28

Utilisez les valeurs de $θ$ et $r$ pour déterminer une solution à l’équation $u^{4} = 81 i$ .

$u_{2} = 3 (\cos (\frac{9 π}{8}) + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Étape 29

Convertissez la solution en forme rectangulaire.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{9 π}{8})$ est $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.1.1.1

Réécrivez $\frac{9 π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$u_{2} = 3 (\cos (\frac{\frac{9 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Étape 29.1.1.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{2} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Étape 29.1.1.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Étape 29.1.1.4

Simplifiez $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.1.1.4.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Étape 29.1.1.4.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Étape 29.1.1.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Étape 29.1.1.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Étape 29.1.1.4.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Étape 29.1.1.4.6

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.1.1.4.6.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Étape 29.1.1.4.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Étape 29.1.1.4.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Étape 29.1.1.4.8

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.1.1.4.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Étape 29.1.1.4.8.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Étape 29.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{9 π}{8})$ est $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.1.2.1

Réécrivez $\frac{9 π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{9 π}{4}}{2}))$

Étape 29.1.2.2

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}))$

Étape 29.1.2.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}))$

Étape 29.1.2.4

Simplifiez $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.1.2.4.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

Étape 29.1.2.4.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Étape 29.1.2.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Étape 29.1.2.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Étape 29.1.2.4.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}))$

Étape 29.1.2.4.6

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.1.2.4.6.1

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}))$

Étape 29.1.2.4.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}))$

Étape 29.1.2.4.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Étape 29.1.2.4.8

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.1.2.4.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Étape 29.1.2.4.8.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}))$

Étape 29.1.3

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \frac{i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Étape 29.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u_{2} = 3 (\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Étape 29.2.2

Associez $3$ et $\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{2} = \frac{3 (- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Étape 29.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ .

$u_{2} = \frac{3 (- (\sqrt{2 + \sqrt{2}}) - i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Étape 29.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ .

$u_{2} = \frac{3 (- (\sqrt{2 + \sqrt{2}}) - (i \sqrt{2 - \sqrt{2}}))}{2}$

Étape 29.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sqrt{2 + \sqrt{2}}) - (i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ .

$u_{2} = \frac{3 (- (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}))}{2}$

Étape 29.2.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.2.6.1

Réécrivez $- (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ comme $- 1 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ .

$u_{2} = \frac{3 (- 1 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}))}{2}$

Étape 29.2.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$u_{2} = - \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Étape 30

Remplacez $u$ par $z^{4}$ pour calculer la valeur de $z$ après le décalage vers la droite.

$z_{2} = 0 - \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Étape 31

Déterminez la valeur de $θ$ pour $r = 3$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (3)$

Étape 32

Résolvez l’équation pour $θ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 32.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 32.1.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 6 π$

Étape 32.1.2

Pour écrire $6 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 6 π \cdot \frac{2}{2}$

Étape 32.1.3

Associez $6 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{6 π \cdot 2}{2}$

Étape 32.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 θ = \frac{π + 6 π \cdot 2}{2}$

Étape 32.1.5

Multipliez $2$ par $6$ .

$4 θ = \frac{π + 12 π}{2}$

Étape 32.1.6

Additionnez $π$ et $12 π$ .

$4 θ = \frac{13 π}{2}$

Étape 32.2

Divisez chaque terme dans $4 θ = \frac{13 π}{2}$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 32.2.1

Divisez chaque terme dans $4 θ = \frac{13 π}{2}$ par $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

Étape 32.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 32.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 32.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

Étape 32.2.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

Étape 32.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 32.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$θ = \frac{13 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 32.2.3.2

Multipliez $\frac{13 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 32.2.3.2.1

Multipliez $\frac{13 π}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{13 π}{2 \cdot 4}$

Étape 32.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$θ = \frac{13 π}{8}$

Étape 33

Utilisez les valeurs de $θ$ et $r$ pour déterminer une solution à l’équation $u^{4} = 81 i$ .

$u_{3} = 3 (\cos (\frac{13 π}{8}) + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Étape 34

Convertissez la solution en forme rectangulaire.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 34.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 34.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{13 π}{8})$ est $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 34.1.1.1

Réécrivez $\frac{13 π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$u_{3} = 3 (\cos (\frac{\frac{13 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Étape 34.1.1.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{3} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Étape 34.1.1.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le cosinus est positif dans le quatrième quadrant.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Étape 34.1.1.4

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 34.1.1.4.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Étape 34.1.1.4.2

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Étape 34.1.1.4.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Étape 34.1.1.4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Étape 34.1.1.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Étape 34.1.1.4.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Étape 34.1.1.4.7

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 34.1.1.4.7.1

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Étape 34.1.1.4.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Étape 34.1.1.4.8

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Étape 34.1.1.4.9

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 34.1.1.4.9.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Étape 34.1.1.4.9.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Étape 34.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{13 π}{8})$ est $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 34.1.2.1

Réécrivez $\frac{13 π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{13 π}{4}}{2}))$

Étape 34.1.2.2

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}))$

Étape 34.1.2.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}))$

Étape 34.1.2.4

Simplifiez $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}$ .

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Étape 34.1.2.4.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}))$

Étape 34.1.2.4.2

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

Étape 34.1.2.4.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Étape 34.1.2.4.4

Multipliez $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 34.1.2.4.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}}))$

Étape 34.1.2.4.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Étape 34.1.2.4.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Étape 34.1.2.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Étape 34.1.2.4.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}))$

Étape 34.1.2.4.8

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 34.1.2.4.8.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}))$

Étape 34.1.2.4.8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}))$

Étape 34.1.2.4.9

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Étape 34.1.2.4.10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 34.1.2.4.10.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Étape 34.1.2.4.10.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}))$

Étape 34.1.3

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} - \frac{i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Étape 34.2

Associez les fractions.

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Étape 34.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Étape 34.2.2

Associez $3$ et $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{3} = \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Étape 35

Remplacez $u$ par $z^{4}$ pour calculer la valeur de $z$ après le décalage vers la droite.

$z_{3} = 0 + \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Étape 36

Ce sont les solutions complexes à $u^{4} = 81 i$ .

$z_{0} = \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

$z_{1} = - \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

$z_{2} = - \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

$z_{3} = \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$