Pré-calcul Exemples

$\frac{1}{2} \cos (2 x)$

Étape 1

Définissez $\frac{1}{2} \cdot \cos (2 x)$ égal à $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \cos (2 x) = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cos (2 x)) = 2 \cdot 0$

Étape 2.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \cos (2 x))$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (2 x)$ .

$2 \frac{\cos (2 x)}{2} = 2 \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\cos (2 x)}{2} = 2 \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (2 x) = 2 \cdot 0$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\cos (2 x) = 0$

Étape 2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$2 x = \arccos (0)$

Étape 2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Étape 2.5

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.5.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 2.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 2.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.5.3.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.5.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 2.6

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 2.7

Résolvez $x$ .

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Étape 2.7.1

Simplifiez

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Étape 2.7.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.7.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.7.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 2.7.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 2.7.1.5

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Étape 2.7.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{3 π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.7.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{3 π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 2.7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 2.7.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 2.7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.7.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.7.2.3.2

Multipliez $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.7.2.3.2.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 2.8

Déterminez la période de $\cos (2 x)$ .

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Étape 2.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.8.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 2.8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 2.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 2.8.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.9

La période de la fonction $\cos (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.10

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 3