Pré-calcul Exemples

$- x^{2} + 4 y^{2} + 8 x + 16 y - 64 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

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Étape 1.1

Ajoutez $64$ aux deux côtés de l’équation.

$- x^{2} + 4 y^{2} + 8 x + 16 y = 64$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $- x^{2} + 8 x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = 8$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Étape 1.2.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$d = - 4$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = 0 - \frac{64}{- 4}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $64$ par $- 4$ .

$e = 0 - - 16$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 16$ .

$e = 0 + 16$

Étape 1.2.4.2.2

Additionnez $0$ et $16$ .

$e = 16$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(x - 4)}^{2} + 16$ .

$- {(x - 4)}^{2} + 16$

Étape 1.3

Remplacez $- x^{2} + 8 x$ par $- {(x - 4)}^{2} + 16$ dans l’équation $- x^{2} + 4 y^{2} + 8 x + 16 y = 64$ .

$- {(x - 4)}^{2} + 16 + 4 y^{2} + 16 y = 64$

Étape 1.4

Déplacez $16$ du côté droit de l’équation en ajoutant $16$ des deux côtés.

$- {(x - 4)}^{2} + 4 y^{2} + 16 y = 64 - 16$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $4 y^{2} + 16 y$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 4$

$b = 16$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{16}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (4)}$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{8}{4}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $4$ .

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Étape 1.5.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$d = \frac{4 \cdot 2}{4}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)}$

Étape 1.5.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{2}{1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$d = 2$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{16^{2}}{4 \cdot 4}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $256$ par $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$e = 0 - 16$

Étape 1.5.4.2.2

Soustrayez $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $4 {(y + 2)}^{2} - 16$ .

$4 {(y + 2)}^{2} - 16$

Étape 1.6

Remplacez $4 y^{2} + 16 y$ par $4 {(y + 2)}^{2} - 16$ dans l’équation $- x^{2} + 4 y^{2} + 8 x + 16 y = 64$ .

$- {(x - 4)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} - 16 = 64 - 16$

Étape 1.7

Déplacez $- 16$ du côté droit de l’équation en ajoutant $16$ des deux côtés.

$- {(x - 4)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} = 64 - 16 + 16$

Étape 1.8

Simplifiez $64 - 16 + 16$ .

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Étape 1.8.1

Soustrayez $16$ de $64$ .

$- {(x - 4)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} = 48 + 16$

Étape 1.8.2

Additionnez $48$ et $16$ .

$- {(x - 4)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} = 64$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $64$ pour rendre le côté droit égal à un.

$- \frac{{(x - 4)}^{2}}{64} + \frac{4 {(y + 2)}^{2}}{64} = \frac{64}{64}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(y + 2)}^{2}}{16} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{64} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 4$

$b = 8$

$k = - 2$

$h = 4$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(4, - 2)$

Étape 5