Pré-calcul Exemples

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 1 & 4 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array}]$

Étape 1

Multipliez $[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 1 & 4 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]$ .

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Étape 1.1

Deux matrices peuvent être multipliées si et seulement si le nombre de colonnes dans la première matrice est égal au nombre de lignes dans la deuxième matrice. Dans ce cas, la première matrice est $2 \times 2$ et la deuxième matrice est $2 \times 1$ .

Étape 1.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} 3 x - 2 y \\ 1 x + 4 y \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array}]$

Étape 1.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} 3 x - 2 y \\ x + 4 y \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array}]$

Étape 2

Écrivez comme un système linéaire d’équations.

$3 x - 2 y = 2$

$x + 4 y = 4$

Étape 3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 3.1

Soustrayez $4 y$ des deux côtés de l’équation.

$x = 4 - 4 y$

$3 x - 2 y = 2$

Étape 3.2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $4 - 4 y$ dans chaque équation.

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Étape 3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $3 x - 2 y = 2$ par $4 - 4 y$ .

$3 (4 - 4 y) - 2 y = 2$

$x = 4 - 4 y$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $3 (4 - 4 y) - 2 y$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cdot 4 + 3 (- 4 y) - 2 y = 2$

$x = 4 - 4 y$

Étape 3.2.2.1.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 + 3 (- 4 y) - 2 y = 2$

$x = 4 - 4 y$

Étape 3.2.2.1.1.3

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$12 - 12 y - 2 y = 2$

$x = 4 - 4 y$

$12 - 12 y - 2 y = 2$

$x = 4 - 4 y$

Étape 3.2.2.1.2

Soustrayez $2 y$ de $- 12 y$ .

$12 - 14 y = 2$

$x = 4 - 4 y$

$12 - 14 y = 2$

$x = 4 - 4 y$

$12 - 14 y = 2$

$x = 4 - 4 y$

$12 - 14 y = 2$

$x = 4 - 4 y$

Étape 3.3

Résolvez $y$ dans $12 - 14 y = 2$ .

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Étape 3.3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.1.1

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$- 14 y = 2 - 12$

$x = 4 - 4 y$

Étape 3.3.1.2

Soustrayez $12$ de $2$ .

$- 14 y = - 10$

$x = 4 - 4 y$

$- 14 y = - 10$

$x = 4 - 4 y$

Étape 3.3.2

Divisez chaque terme dans $- 14 y = - 10$ par $- 14$ et simplifiez.

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Étape 3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 14 y = - 10$ par $- 14$ .

$\frac{- 14 y}{- 14} = \frac{- 10}{- 14}$

$x = 4 - 4 y$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 14$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 14 y}{- 14} = \frac{- 10}{- 14}$

$x = 4 - 4 y$

Étape 3.3.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 10}{- 14}$

$x = 4 - 4 y$

$y = \frac{- 10}{- 14}$

$x = 4 - 4 y$

$y = \frac{- 10}{- 14}$

$x = 4 - 4 y$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $- 14$ .

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Étape 3.3.2.3.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 10$ .

$y = \frac{- 2 \cdot 5}{- 14}$

$x = 4 - 4 y$

Étape 3.3.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.3.1.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 14$ .

$y = \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 7}$

$x = 4 - 4 y$

Étape 3.3.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 7}$

$x = 4 - 4 y$

Étape 3.3.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{5}{7}$

$x = 4 - 4 y$

$y = \frac{5}{7}$

$x = 4 - 4 y$

$y = \frac{5}{7}$

$x = 4 - 4 y$

$y = \frac{5}{7}$

$x = 4 - 4 y$

$y = \frac{5}{7}$

$x = 4 - 4 y$

$y = \frac{5}{7}$

$x = 4 - 4 y$

Étape 3.4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $\frac{5}{7}$ dans chaque équation.

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Étape 3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = 4 - 4 y$ par $\frac{5}{7}$ .

$x = 4 - 4 (\frac{5}{7})$

$y = \frac{5}{7}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez $4 - 4 (\frac{5}{7})$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1.1

Multipliez $- 4 (\frac{5}{7})$ .

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Étape 3.4.2.1.1.1.1

Associez $- 4$ et $\frac{5}{7}$ .

$x = 4 + \frac{- 4 \cdot 5}{7}$

$y = \frac{5}{7}$

Étape 3.4.2.1.1.1.2

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$x = 4 + \frac{- 20}{7}$

$y = \frac{5}{7}$

$x = 4 + \frac{- 20}{7}$

$y = \frac{5}{7}$

Étape 3.4.2.1.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = 4 - \frac{20}{7}$

$y = \frac{5}{7}$

$x = 4 - \frac{20}{7}$

$y = \frac{5}{7}$

Étape 3.4.2.1.2

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$x = 4 \cdot \frac{7}{7} - \frac{20}{7}$

$y = \frac{5}{7}$

Étape 3.4.2.1.3

Associez $4$ et $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{4 \cdot 7}{7} - \frac{20}{7}$

$y = \frac{5}{7}$

Étape 3.4.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{4 \cdot 7 - 20}{7}$

$y = \frac{5}{7}$

Étape 3.4.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.2.1.5.1

Multipliez $4$ par $7$ .

$x = \frac{28 - 20}{7}$

$y = \frac{5}{7}$

Étape 3.4.2.1.5.2

Soustrayez $20$ de $28$ .

$x = \frac{8}{7}$

$y = \frac{5}{7}$

$x = \frac{8}{7}$

$y = \frac{5}{7}$

$x = \frac{8}{7}$

$y = \frac{5}{7}$

$x = \frac{8}{7}$

$y = \frac{5}{7}$

$x = \frac{8}{7}$

$y = \frac{5}{7}$

Étape 3.5

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{8}{7}, y = \frac{5}{7}$