Pré-calcul Exemples

${(x - e)}^{2} = 4 e (y - e)$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Réécrivez l’équation comme $4 e (y - e) = {(x - e)}^{2}$ .

$4 e (y - e) = {(x - e)}^{2}$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $4 e (y - e) = {(x - e)}^{2}$ par $4 e$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $4 e (y - e) = {(x - e)}^{2}$ par $4 e$ .

$\frac{4 e (y - e)}{4 e} = \frac{{(x - e)}^{2}}{4 e}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 e (y - e)}{4 e} = \frac{{(x - e)}^{2}}{4 e}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{e (y - e)}{e} = \frac{{(x - e)}^{2}}{4 e}$

Étape 1.1.2.2.2

Annulez le facteur commun de $e$ .

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Étape 1.1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e (y - e)}{e} = \frac{{(x - e)}^{2}}{4 e}$

Étape 1.1.2.2.2.2

Divisez $y - e$ par $1$ .

$y - e = \frac{{(x - e)}^{2}}{4 e}$

Étape 1.1.3

Ajoutez $e$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{{(x - e)}^{2}}{4 e} + e$

Étape 1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{4 e} \cdot {(x - e)}^{2} + e$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $\frac{1}{4 e} \cdot {(x - e)}^{2} + e$ .

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Étape 1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.1

Réécrivez ${(x - e)}^{2}$ comme $(x - e) (x - e)$ .

$\frac{1}{4 e} \cdot ((x - e) (x - e)) + e$

Étape 1.2.1.1.2

Développez $(x - e) (x - e)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4 e} \cdot (x (x - e) - e (x - e)) + e$

Étape 1.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4 e} \cdot (x \cdot x + x (- e) - e (x - e)) + e$

Étape 1.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4 e} \cdot (x \cdot x + x (- e) - e x - e (- e)) + e$

Étape 1.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{1}{4 e} \cdot (x^{2} + x (- e) - e x - e (- e)) + e$

Étape 1.2.1.1.3.1.2

Multipliez $- e (- e)$ .

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Étape 1.2.1.1.3.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4 e} \cdot (x^{2} + x (- e) - e x + 1 e e) + e$

Étape 1.2.1.1.3.1.2.2

Multipliez $e$ par $1$ .

$\frac{1}{4 e} \cdot (x^{2} + x (- e) - e x + e e) + e$

Étape 1.2.1.1.3.1.2.3

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{4 e} \cdot (x^{2} + x (- e) - e x + e^{1} e) + e$

Étape 1.2.1.1.3.1.2.4

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{4 e} \cdot (x^{2} + x (- e) - e x + e^{1} e^{1}) + e$

Étape 1.2.1.1.3.1.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{4 e} \cdot (x^{2} + x (- e) - e x + e^{1 + 1}) + e$

Étape 1.2.1.1.3.1.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{4 e} \cdot (x^{2} + x (- e) - e x + e^{2}) + e$

Étape 1.2.1.1.3.2

Déplacez $e$ .

$\frac{1}{4 e} \cdot (x^{2} - 1 \cdot x e - 1 x e + e^{2}) + e$

Étape 1.2.1.1.3.3

Soustrayez $x e$ de $- 1 \cdot x e$ .

$\frac{1}{4 e} \cdot (x^{2} - 2 x e + e^{2}) + e$

Étape 1.2.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4 e} x^{2} + \frac{1}{4 e} (- 2 x e) + \frac{1}{4 e} e^{2} + e$

Étape 1.2.1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.2.1.1.5.1

Associez $\frac{1}{4 e}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4 e} + \frac{1}{4 e} (- 2 x e) + \frac{1}{4 e} e^{2} + e$

Étape 1.2.1.1.5.2

Annulez le facteur commun de $2 e$ .

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Étape 1.2.1.1.5.2.1

Factorisez $2 e$ à partir de $4 e$ .

$\frac{x^{2}}{4 e} + \frac{1}{2 e (2)} (- 2 x e) + \frac{1}{4 e} e^{2} + e$

Étape 1.2.1.1.5.2.2

Factorisez $2 e$ à partir de $- 2 x e$ .

$\frac{x^{2}}{4 e} + \frac{1}{2 e (2)} (2 e (- x)) + \frac{1}{4 e} e^{2} + e$

Étape 1.2.1.1.5.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2}}{4 e} + \frac{1}{2 e \cdot 2} (2 e (- x)) + \frac{1}{4 e} e^{2} + e$

Étape 1.2.1.1.5.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2}}{4 e} + \frac{1}{2} (- x) + \frac{1}{4 e} e^{2} + e$

Étape 1.2.1.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{1}{4 e} e^{2} + e$

Étape 1.2.1.1.5.4

Annulez le facteur commun de $e$ .

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Étape 1.2.1.1.5.4.1

Factorisez $e$ à partir de $4 e$ .

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{1}{e \cdot 4} e^{2} + e$

Étape 1.2.1.1.5.4.2

Factorisez $e$ à partir de $e^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{1}{e \cdot 4} (e e) + e$

Étape 1.2.1.1.5.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{1}{e \cdot 4} (e e) + e$

Étape 1.2.1.1.5.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{1}{4} e + e$

Étape 1.2.1.1.5.5

Associez $\frac{1}{4}$ et $e$ .

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{e}{4} + e$

Étape 1.2.1.2

Pour écrire $e$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{e}{4} + e \cdot \frac{4}{4}$

Étape 1.2.1.3

Associez $e$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{e}{4} + \frac{e \cdot 4}{4}$

Étape 1.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{e + e \cdot 4}{4}$

Étape 1.2.1.5

Additionnez $e$ et $e \cdot 4$ .

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Étape 1.2.1.5.1

Remettez dans l’ordre $e$ et $4$ .

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{e + 4 \cdot e}{4}$

Étape 1.2.1.5.2

Additionnez $e$ et $4 \cdot e$ .

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{5 e}{4}$

Étape 1.2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{1}{4 e}$

$b = - \frac{1}{2}$

$c = \frac{5 e}{4}$

Étape 1.2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{1}{2}}{2 \frac{1}{4 e}}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \frac{1}{4 e}}$

Étape 1.2.4.2.2

Associez $2$ et $\frac{1}{4 e}$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{4 e}}$

Étape 1.2.4.2.3

Réduisez l’expression $\frac{2}{4 e}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{4 e}}$

Étape 1.2.4.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $4 e$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{2 (2 e)}}$

Étape 1.2.4.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 (2 e)}}$

Étape 1.2.4.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2 e}}$

Étape 1.2.4.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - \frac{1}{2} (1 (2 e))$

Étape 1.2.4.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.2.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$d = \frac{- 1}{2} (1 (2 e))$

Étape 1.2.4.2.5.2

Factorisez $2$ à partir de $1 (2 e)$ .

$d = \frac{- 1}{2} (2 (1 (e)))$

Étape 1.2.4.2.5.3

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 1}{2} (2 (1 (e)))$

Étape 1.2.4.2.5.4

Réécrivez l’expression.

$d = - (1 (e))$

Étape 1.2.4.2.6

Multipliez $e$ par $1$ .

$d = - e$

Étape 1.2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{4 \frac{1}{4 e}}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 \frac{1}{4 e}}$

Étape 1.2.5.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 \frac{1}{4 e}}$

Étape 1.2.5.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 \frac{1}{4 e}}$

Étape 1.2.5.2.1.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{1 \frac{1}{2^{2}}}{4 \frac{1}{4 e}}$

Étape 1.2.5.2.1.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{1 (\frac{1}{4})}{4 \frac{1}{4 e}}$

Étape 1.2.5.2.1.1.6

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{4 \frac{1}{4 e}}$

Étape 1.2.5.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{1}{4 e}$ .

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4}{4 e}}$

Étape 1.2.5.2.1.3

Réduisez l’expression $\frac{4}{4 e}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.2.5.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4}{4 e}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{e}}$

Étape 1.2.5.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = \frac{5 e}{4} - (\frac{1}{4} e)$

Étape 1.2.5.2.1.5

Associez $\frac{1}{4}$ et $e$ .

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{e}{4}$

Étape 1.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{5 e - e}{4}$

Étape 1.2.5.2.3

Soustrayez $e$ de $5 e$ .

$e = \frac{4 e}{4}$

Étape 1.2.5.2.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{4 e}{4}$

Étape 1.2.5.2.4.2

Divisez $e$ par $1$ .

$e = e$

Étape 1.2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{1}{4 e} {(x - e)}^{2} + e$ .

$\frac{1}{4 e} {(x - e)}^{2} + e$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = \frac{1}{4 e} \cdot {(x - e)}^{2} + e$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{1}{4 e}$

$h = e$

$k = e$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(e, e)$

Étape 4