Pré-calcul Exemples

$4 y^{2} + 4 y - 16 x + 13 = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.1.1

Soustrayez $4 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$4 y - 16 x + 13 = - 4 y^{2}$

Étape 1.1.1.2

Soustrayez $4 y$ des deux côtés de l’équation.

$- 16 x + 13 = - 4 y^{2} - 4 y$

Étape 1.1.1.3

Soustrayez $13$ des deux côtés de l’équation.

$- 16 x = - 4 y^{2} - 4 y - 13$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $- 16 x = - 4 y^{2} - 4 y - 13$ par $- 16$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 16 x = - 4 y^{2} - 4 y - 13$ par $- 16$ .

$\frac{- 16 x}{- 16} = \frac{- 4 y^{2}}{- 16} + \frac{- 4 y}{- 16} + \frac{- 13}{- 16}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 16$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 16 x}{- 16} = \frac{- 4 y^{2}}{- 16} + \frac{- 4 y}{- 16} + \frac{- 13}{- 16}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 y^{2}}{- 16} + \frac{- 4 y}{- 16} + \frac{- 13}{- 16}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $- 16$ .

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Étape 1.1.2.3.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 y^{2}$ .

$x = \frac{- 4 (y^{2})}{- 16} + \frac{- 4 y}{- 16} + \frac{- 13}{- 16}$

Étape 1.1.2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.3.1.1.2.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 16$ .

$x = \frac{- 4 (y^{2})}{- 4 (4)} + \frac{- 4 y}{- 16} + \frac{- 13}{- 16}$

Étape 1.1.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- 4 y^{2}}{- 4 \cdot 4} + \frac{- 4 y}{- 16} + \frac{- 13}{- 16}$

Étape 1.1.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 y}{- 16} + \frac{- 13}{- 16}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $- 16$ .

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Étape 1.1.2.3.1.2.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 y$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 (y)}{- 16} + \frac{- 13}{- 16}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.3.1.2.2.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 16$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 (y)}{- 4 (4)} + \frac{- 13}{- 16}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 y}{- 4 \cdot 4} + \frac{- 13}{- 16}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{4} + \frac{- 13}{- 16}$

Étape 1.1.2.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{4} + \frac{13}{16}$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $\frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{4} + \frac{13}{16}$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = \frac{1}{4}$

$c = \frac{13}{16}$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{1}{4}}{2 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.3.2

Annulez le facteur commun de $\frac{1}{4}$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{\frac{1}{4}}{2 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{13}{16} - \frac{{(\frac{1}{4})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à ${(\frac{1}{4})}^{2}$ et $\frac{1}{4}$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1.1

Factorisez $\frac{1}{4}$ à partir de ${(\frac{1}{4})}^{2}$ .

$e = \frac{13}{16} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.1.1.2.1

Factorisez $\frac{1}{4}$ à partir de $4 (\frac{1}{4})$ .

$e = \frac{13}{16} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} \cdot 4}$

Étape 1.2.4.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{13}{16} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} \cdot 4}$

Étape 1.2.4.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{13}{16} - \frac{\frac{1}{4}}{4}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = \frac{13}{16} - (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 1.2.4.2.1.3

Multipliez $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 1.2.4.2.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{13}{16} - \frac{1}{4 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.2.1.3.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$e = \frac{13}{16} - \frac{1}{16}$

Étape 1.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{13 - 1}{16}$

Étape 1.2.4.2.3

Soustrayez $1$ de $13$ .

$e = \frac{12}{16}$

Étape 1.2.4.2.4

Annulez le facteur commun à $12$ et $16$ .

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Étape 1.2.4.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$e = \frac{4 (3)}{16}$

Étape 1.2.4.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$e = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{3}{4}$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{1}{4} {(y + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(y + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4}$

Étape 1.3

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = \frac{1}{4} \cdot {(y + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4}$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = \frac{3}{4}$

$k = - \frac{1}{2}$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(\frac{3}{4}, - \frac{1}{2})$

Étape 4