Pré-calcul Exemples

$\frac{π}{8}$

Étape 1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{8})$ est $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 1.1

Réécrivez $\frac{π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Étape 1.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Étape 1.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le cosinus est positif dans le premier quadrant.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Étape 1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 1.5

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Étape 1.5.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 1.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 1.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 1.5.4

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.5.4.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Étape 1.5.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Étape 1.5.5

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Étape 1.5.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 1.5.6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Étape 2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{8})$ est $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $\frac{π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Étape 2.2

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Étape 2.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le sinus est positif dans le premier quadrant.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

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Étape 2.4.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 2.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 2.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 2.4.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 2.4.5

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.4.5.1

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Étape 2.4.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

Étape 2.4.6

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Étape 2.4.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 2.4.7.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Étape 3

Définissez les coordonnées $(\cos (θ), \sin (θ))$ .

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}, \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$