Pré-calcul Exemples

$y = - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x - \frac{5}{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{5}{2}$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{5}{2}$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 3$

$c = - \frac{5}{2}$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{3}{2 (- \frac{1}{2})}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$d = \frac{3}{- 2 (\frac{1}{2})}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{3}{\frac{- 2}{2}}$

Étape 1.2.3.2.2

Divisez $- 2$ par $2$ .

$d = \frac{3}{- 1}$

Étape 1.2.3.2.3

Divisez $3$ par $- 1$ .

$d = - 3$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{5}{2} - \frac{3^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{5}{2} - \frac{9}{4 (- \frac{1}{2})}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = - \frac{5}{2} - \frac{9}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Étape 1.2.4.2.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$e = - \frac{5}{2} - \frac{9}{\frac{- 4}{2}}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $- 4$ par $2$ .

$e = - \frac{5}{2} - \frac{9}{- 2}$

Étape 1.2.4.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{5}{2} - - \frac{9}{2}$

Étape 1.2.4.2.1.5

Multipliez $- - \frac{9}{2}$ .

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Étape 1.2.4.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = - \frac{5}{2} + 1 (\frac{9}{2})$

Étape 1.2.4.2.1.5.2

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $1$ .

$e = - \frac{5}{2} + \frac{9}{2}$

Étape 1.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 5 + 9}{2}$

Étape 1.2.4.2.3

Additionnez $- 5$ et $9$ .

$e = \frac{4}{2}$

Étape 1.2.4.2.4

Divisez $4$ par $2$ .

$e = 2$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 2$ .

$- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 2$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2} + 2$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 3$

$k = 2$

Étape 3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers le bas.

ouvre vers le bas

Étape 4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(3, 2)$

Étape 5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 5.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Étape 5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Étape 5.3.2

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Étape 5.3.3

Divisez $4$ par $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Étape 6

Déterminez le foyer.

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Étape 6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(3, \frac{3}{2})$

Étape 7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = 3$

Étape 8