Pré-calcul Exemples

$\frac{- 5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5}{2} i$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(5) \sqrt{3}}{2} + \frac{5}{2} i$

Étape 1.2

Associez $\frac{5}{2}$ et $i$ .

$- \frac{5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5 i}{2}$

Étape 2

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 3

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles de $a = - \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ et $b = \frac{5}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Étape 5

Déterminez $| z |$ .

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Étape 5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Étape 5.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{2^{2}} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Étape 5.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Étape 5.4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.4.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Étape 5.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{{(5 \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}})}$

Étape 5.4.3

Appliquez la règle de produit à $5 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

Étape 5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.5.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + 1 (\frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

Étape 5.5.2

Multipliez $\frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 5.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 5.6.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.6.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 5.6.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Étape 5.6.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 5.6.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.6.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 5.6.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

Étape 5.6.2.5

Évaluez l’exposant.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

Étape 5.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.7.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{4}}$

Étape 5.7.2

Multipliez $25$ par $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{75}{4}}$

Étape 5.7.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$| z | = \sqrt{\frac{25 + 75}{4}}$

Étape 5.7.4

Additionnez $25$ et $75$ .

$| z | = \sqrt{\frac{100}{4}}$

Étape 5.7.5

Divisez $100$ par $4$ .

$| z | = \sqrt{25}$

Étape 5.7.6

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$| z | = \sqrt{5^{2}}$

Étape 5.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = 5$

Étape 6

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{\frac{5}{2}}{- \frac{5 \sqrt{3}}{2}})$

Étape 7

Comme la tangente inverse de $\frac{\frac{5}{2}}{- \frac{5 \sqrt{3}}{2}}$ produit un angle dans le deuxième quadrant, la valeur de l’angle est $\frac{5 π}{6}$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Étape 8

Remplacez les valeurs de $θ = \frac{5 π}{6}$ et $| z | = 5$ .

$5 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$