Pré-calcul Exemples

${(4 + 4 i)}^{5}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

$4^{5} + 5 \cdot 4^{4} (4 i) + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$1024 + 5 \cdot 4^{4} (4 i) + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Étape 2.1.2

Multipliez $4^{4}$ par $4$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.1

Déplacez $4$ .

$1024 + 5 \cdot (4 \cdot 4^{4}) i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Étape 2.1.2.2

Multipliez $4$ par $4^{4}$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Élevez $4$ à la puissance $1$ .

$1024 + 5 \cdot (4^{1} \cdot 4^{4}) i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Étape 2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1024 + 5 \cdot 4^{1 + 4} i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Étape 2.1.2.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$1024 + 5 \cdot 4^{5} i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Étape 2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$1024 + 5 \cdot 1024 i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Étape 2.1.4

Multipliez $5$ par $1024$ .

$1024 + 5120 i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Étape 2.1.5

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$1024 + 5120 i + 10 \cdot 64 {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Étape 2.1.6

Multipliez $10$ par $64$ .

$1024 + 5120 i + 640 {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Étape 2.1.7

Appliquez la règle de produit à $4 i$ .

$1024 + 5120 i + 640 (4^{2} i^{2}) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Étape 2.1.8

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$1024 + 5120 i + 640 (16 i^{2}) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Étape 2.1.9

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1024 + 5120 i + 640 (16 \cdot - 1) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Étape 2.1.10

Multipliez $640 (16 \cdot - 1)$ .

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Étape 2.1.10.1

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$1024 + 5120 i + 640 \cdot - 16 + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Étape 2.1.10.2

Multipliez $640$ par $- 16$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Étape 2.1.11

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 10 \cdot 16 {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Étape 2.1.12

Multipliez $10$ par $16$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Étape 2.1.13

Appliquez la règle de produit à $4 i$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (4^{3} i^{3}) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Étape 2.1.14

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 i^{3}) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Étape 2.1.15

Factorisez $i^{2}$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Étape 2.1.16

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Étape 2.1.17

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (- i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Étape 2.1.18

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (- 64 i) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Étape 2.1.19

Multipliez $- 64$ par $160$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Étape 2.1.20

Multipliez $5$ par $4$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Étape 2.1.21

Appliquez la règle de produit à $4 i$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (4^{4} i^{4}) + {(4 i)}^{5}$

Étape 2.1.22

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 i^{4}) + {(4 i)}^{5}$

Étape 2.1.23

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.23.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 {(i^{2})}^{2}) + {(4 i)}^{5}$

Étape 2.1.23.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 {(- 1)}^{2}) + {(4 i)}^{5}$

Étape 2.1.23.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 \cdot 1) + {(4 i)}^{5}$

Étape 2.1.24

Multipliez $20 (256 \cdot 1)$ .

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Étape 2.1.24.1

Multipliez $256$ par $1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 \cdot 256 + {(4 i)}^{5}$

Étape 2.1.24.2

Multipliez $20$ par $256$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + {(4 i)}^{5}$

Étape 2.1.25

Appliquez la règle de produit à $4 i$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 4^{5} i^{5}$

Étape 2.1.26

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 i^{5}$

Étape 2.1.27

Factorisez $i^{4}$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 (i^{4} i)$

Étape 2.1.28

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.28.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 ({(i^{2})}^{2} i)$

Étape 2.1.28.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 ({(- 1)}^{2} i)$

Étape 2.1.28.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 (1 i)$

Étape 2.1.29

Multipliez $i$ par $1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 i$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $10240$ de $1024$ .

$- 9216 + 5120 i - 10240 i + 5120 + 1024 i$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 9216$ et $5120$ .

$- 4096 + 5120 i - 10240 i + 1024 i$

Étape 2.2.3

Soustrayez $10240 i$ de $5120 i$ .

$- 4096 - 5120 i + 1024 i$

Étape 2.2.4

Additionnez $- 5120 i$ et $1024 i$ .

$- 4096 - 4096 i$

Étape 3

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 4

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles de $a = - 4096$ et $b = - 4096$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4096)}^{2} + {(- 4096)}^{2}}$

Étape 6

Déterminez $| z |$ .

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Étape 6.1

Élevez $- 4096$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{16777216 + {(- 4096)}^{2}}$

Étape 6.2

Élevez $- 4096$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{16777216 + 16777216}$

Étape 6.3

Additionnez $16777216$ et $16777216$ .

$| z | = \sqrt{33554432}$

Étape 6.4

Réécrivez $33554432$ comme $4096^{2} \cdot 2$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $16777216$ à partir de $33554432$ .

$| z | = \sqrt{16777216 (2)}$

Étape 6.4.2

Réécrivez $16777216$ comme $4096^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4096^{2} \cdot 2}$

Étape 6.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| z | = 4096 \sqrt{2}$

Étape 7

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- 4096}{- 4096})$

Étape 8

Comme la tangente inverse de $\frac{- 4096}{- 4096}$ produit un angle dans le troisième quadrant, la valeur de l’angle est $\frac{5 π}{4}$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Étape 9

Remplacez les valeurs de $θ = \frac{5 π}{4}$ et $| z | = 4096 \sqrt{2}$ .

$4096 \sqrt{2} (\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4}))$