Pré-calcul Exemples

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + 1 = \sec^{2} (θ)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + 1$

Étape 2

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\frac{1 - \cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + 1$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + 1$

Étape 3.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \cos (θ)$ .

$\frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}} + 1$

Étape 3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

Étape 3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ)) + {\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

$\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$

Étape 4

Réécrivez $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ comme $\sec^{2} (θ)$ .

$\sec^{2} (θ)$

Étape 5

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + 1 = \sec^{2} (θ)$ est une identité