Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{5 x^{4} - 7}{2 x + 3}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{5 x^{4} - 7}{2 x + 3}$ est indéfinie.

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 2

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 3

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 4$

$m = 1$

Étape 4

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 5

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

Étape 5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $5 x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

Étape 5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

Étape 5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $5 x^{4} + \frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

Étape 5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

Étape 5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

Étape 5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- \frac{15 x^{3}}{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

Étape 5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

Étape 5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- \frac{15 x^{3}}{2} - \frac{45 x^{2}}{4}$

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

Étape 5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

Étape 5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$0 x$

Étape 5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $\frac{45 x^{2}}{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$\frac{45 x}{8}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$0 x$

Étape 5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$\frac{45 x}{8}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$0 x$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$\frac{135 x}{8}$

Étape 5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $\frac{45 x^{2}}{4} + \frac{135 x}{8}$

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$\frac{45 x}{8}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$0 x$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$\frac{135 x}{8}$

Étape 5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$\frac{45 x}{8}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$0 x$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$\frac{135 x}{8}$

Étape 5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$\frac{45 x}{8}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$0 x$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$\frac{135 x}{8}$

$7$

Étape 5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- \frac{135 x}{8}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$\frac{45 x}{8}$

$\frac{135}{16}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$0 x$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$\frac{135 x}{8}$

$7$

Étape 5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$\frac{45 x}{8}$

$\frac{135}{16}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$0 x$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$\frac{135 x}{8}$

$7$

$\frac{135 x}{8}$

$\frac{405}{16}$

Étape 5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- \frac{135 x}{8} - \frac{405}{16}$

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$\frac{45 x}{8}$

$\frac{135}{16}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$0 x$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$\frac{135 x}{8}$

$7$

$\frac{135 x}{8}$

$\frac{405}{16}$

Étape 5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$\frac{45 x}{8}$

$\frac{135}{16}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$0 x$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$\frac{135 x}{8}$

$7$

$\frac{135 x}{8}$

$\frac{405}{16}$

$\frac{293}{16}$

Étape 5.21

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\frac{5 x^{3}}{2} - \frac{15 x^{2}}{4} + \frac{45 x}{8} - \frac{135}{16} + \frac{293}{16 (2 x + 3)}$

Étape 5.22

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = \frac{5 x^{3}}{2} - \frac{15 x^{2}}{4} + \frac{45 x}{8} - \frac{135}{16}$

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - \frac{3}{2}$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = \frac{5 x^{3}}{2} - \frac{15 x^{2}}{4} + \frac{45 x}{8} - \frac{135}{16}$

Étape 7