Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{6 x^{5} - 3 x^{3} + 7 x - 3}{2 x^{2} - 3}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{6 x^{5} - 3 x^{3} + 7 x - 3}{2 x^{2} - 3}$ est indéfinie.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}, x = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 2

Comme $\frac{6 x^{5} - 3 x^{3} + 7 x - 3}{2 x^{2} - 3}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ depuis la gauche et $\frac{6 x^{5} - 3 x^{3} + 7 x - 3}{2 x^{2} - 3}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ depuis la droite, $x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$ est une asymptote verticale.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 3

Comme $\frac{6 x^{5} - 3 x^{3} + 7 x - 3}{2 x^{2} - 3}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{6}}{2}$ depuis la gauche et $\frac{6 x^{5} - 3 x^{3} + 7 x - 3}{2 x^{2} - 3}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{6}}{2}$ depuis la droite, $x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ est une asymptote verticale.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 4

Indiquez toutes les asymptotes verticales :

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 5

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 6

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 5$

$m = 2$

Étape 7

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 8

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 8.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

Étape 8.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $6 x^{5}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x^{2}$ .

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

Étape 8.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

Étape 8.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $6 x^{5} + 0 - 9 x^{3}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

Étape 8.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

$6 x^{3}$

Étape 8.6

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

Étape 8.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $6 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x^{2}$ .

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

Étape 8.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$6 x^{3}$

$0$

$9 x$

Étape 8.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $6 x^{3} + 0 - 9 x$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$6 x^{3}$

$0$

$9 x$

Étape 8.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$6 x^{3}$

$0$

$9 x$

$16 x$

Étape 8.11

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$6 x^{3}$

$0$

$9 x$

$16 x$

$3$

Étape 8.12

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$3 x^{3} + 3 x + \frac{16 x - 3}{2 x^{2} - 3}$

Étape 8.13

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = 3 x^{3} + 3 x$

Étape 9

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - \frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = 3 x^{3} + 3 x$

Étape 10