Pré-calcul Exemples

$\frac{x (x^{4} + 9)}{3 x^{2} - 13 x - 10}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x (x^{4} + 9)}{3 x^{2} - 13 x - 10}$ est indéfinie.

$x = - \frac{2}{3}, x = 5$

Étape 2

Comme $\frac{x (x^{4} + 9)}{3 x^{2} - 13 x - 10}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- \frac{2}{3}$ depuis la gauche et $\frac{x (x^{4} + 9)}{3 x^{2} - 13 x - 10}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- \frac{2}{3}$ depuis la droite, $x = - \frac{2}{3}$ est une asymptote verticale.

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 3

Comme $\frac{x (x^{4} + 9)}{3 x^{2} - 13 x - 10}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $5$ depuis la gauche et $\frac{x (x^{4} + 9)}{3 x^{2} - 13 x - 10}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $5$ depuis la droite, $x = 5$ est une asymptote verticale.

$x = 5$

Étape 4

Indiquez toutes les asymptotes verticales :

$x = - \frac{2}{3}, 5$

Étape 5

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 6

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 5$

$m = 2$

Étape 7

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 8

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 8.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5} + 9 x$ .

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Étape 8.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$\frac{x \cdot x^{4} + 9 x}{3 x^{2} - 13 x - 10}$

Étape 8.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $9 x$ .

$\frac{x \cdot x^{4} + x \cdot 9}{3 x^{2} - 13 x - 10}$

Étape 8.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{4} + x \cdot 9$ .

$\frac{x (x^{4} + 9)}{3 x^{2} - 13 x - 10}$

Étape 8.1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 8.1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 10 = - 30$ et dont la somme est $b = - 13$ .

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Étape 8.1.2.1.1

Factorisez $- 13$ à partir de $- 13 x$ .

$\frac{x (x^{4} + 9)}{3 x^{2} - 13 (x) - 10}$

Étape 8.1.2.1.2

Réécrivez $- 13$ comme $2$ plus $- 15$

$\frac{x (x^{4} + 9)}{3 x^{2} + (2 - 15) x - 10}$

Étape 8.1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x^{4} + 9)}{3 x^{2} + 2 x - 15 x - 10}$

Étape 8.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 8.1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{x (x^{4} + 9)}{(3 x^{2} + 2 x) - 15 x - 10}$

Étape 8.1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (x^{4} + 9)}{x (3 x + 2) - 5 (3 x + 2)}$

Étape 8.1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 2$ .

$\frac{x (x^{4} + 9)}{(3 x + 2) (x - 5)}$

Étape 8.2

Développez $x (x^{4} + 9)$ .

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Étape 8.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x^{4} + x \cdot 9}{(3 x + 2) (x - 5)}$

Étape 8.2.2

Remettez dans l’ordre $x$ et $9$ .

$\frac{x \cdot x^{4} + 9 x}{(3 x + 2) (x - 5)}$

Étape 8.2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x^{4} + 9 x}{(3 x + 2) (x - 5)}$

Étape 8.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 + 4} + 9 x}{(3 x + 2) (x - 5)}$

Étape 8.2.5

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{x^{5} + 9 x}{(3 x + 2) (x - 5)}$

Étape 8.3

Développez $(3 x + 2) (x - 5)$ .

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Étape 8.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{5} + 9 x}{3 x (x - 5) + 2 (x - 5)}$

Étape 8.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{5} + 9 x}{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 5 + 2 (x - 5)}$

Étape 8.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{5} + 9 x}{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 5 + 2 x + 2 \cdot - 5}$

Étape 8.3.4

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{5} + 9 x}{3 x \cdot x + 3 \cdot (- 5 x) + 2 x + 2 \cdot - 5}$

Étape 8.3.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{5} + 9 x}{3 (x \cdot x) + 3 \cdot (- 5 x) + 2 x + 2 \cdot - 5}$

Étape 8.3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{5} + 9 x}{3 (x \cdot x) + 3 \cdot (- 5 x) + 2 x + 2 \cdot - 5}$

Étape 8.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{5} + 9 x}{3 x^{1 + 1} + 3 \cdot (- 5 x) + 2 x + 2 \cdot - 5}$

Étape 8.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{5} + 9 x}{3 x^{2} + 3 \cdot (- 5 x) + 2 x + 2 \cdot - 5}$

Étape 8.3.9

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$\frac{x^{5} + 9 x}{3 x^{2} - 15 x + 2 x + 2 \cdot - 5}$

Étape 8.3.10

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\frac{x^{5} + 9 x}{3 x^{2} - 15 x + 2 x - 10}$

Étape 8.3.11

Additionnez $- 15 x$ et $2 x$ .

$\frac{x^{5} + 9 x}{3 x^{2} - 13 x - 10}$

Étape 8.4

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

Étape 8.5

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{5}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{3}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

Étape 8.6

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$\frac{x^{3}}{3}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

Étape 8.7

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{5} - \frac{13 x^{4}}{3} - \frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{x^{3}}{3}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

Étape 8.8

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$\frac{x^{3}}{3}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

Étape 8.9

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$\frac{x^{3}}{3}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

Étape 8.10

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $\frac{13 x^{4}}{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{2}}{9}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

Étape 8.11

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$\frac{x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{2}}{9}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{169 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

Étape 8.12

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $\frac{13 x^{4}}{3} - \frac{169 x^{3}}{9} - \frac{130 x^{2}}{9}$

$\frac{x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{2}}{9}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{169 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

Étape 8.13

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$\frac{x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{2}}{9}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{169 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

Étape 8.14

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$\frac{x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{2}}{9}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{169 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$9 x$

Étape 8.15

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $\frac{199 x^{3}}{9}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x}{27}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{169 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$9 x$

Étape 8.16

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$\frac{x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x}{27}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{169 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$9 x$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{2587 x^{2}}{27}$

$\frac{1990 x}{27}$

Étape 8.17

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $\frac{199 x^{3}}{9} - \frac{2587 x^{2}}{27} - \frac{1990 x}{27}$

$\frac{x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x}{27}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{169 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$9 x$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{2587 x^{2}}{27}$

$\frac{1990 x}{27}$

Étape 8.18

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$\frac{x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x}{27}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{169 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$9 x$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{2587 x^{2}}{27}$

$\frac{1990 x}{27}$

$\frac{2977 x^{2}}{27}$

$\frac{2233 x}{27}$

Étape 8.19

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$\frac{x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x}{27}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{169 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$9 x$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{2587 x^{2}}{27}$

$\frac{1990 x}{27}$

$\frac{2977 x^{2}}{27}$

$\frac{2233 x}{27}$

$0$

Étape 8.20

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $\frac{2977 x^{2}}{27}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x}{27}$

$\frac{2977}{81}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{169 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$9 x$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{2587 x^{2}}{27}$

$\frac{1990 x}{27}$

$\frac{2977 x^{2}}{27}$

$\frac{2233 x}{27}$

$0$

Étape 8.21

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$\frac{x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x}{27}$

$\frac{2977}{81}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{169 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$9 x$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{2587 x^{2}}{27}$

$\frac{1990 x}{27}$

$\frac{2977 x^{2}}{27}$

$\frac{2233 x}{27}$

$0$

$\frac{2977 x^{2}}{27}$

$\frac{38701 x}{81}$

$\frac{29770}{81}$

Étape 8.22

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $\frac{2977 x^{2}}{27} - \frac{38701 x}{81} - \frac{29770}{81}$

$\frac{x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x}{27}$

$\frac{2977}{81}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{169 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$9 x$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{2587 x^{2}}{27}$

$\frac{1990 x}{27}$

$\frac{2977 x^{2}}{27}$

$\frac{2233 x}{27}$

$0$

$\frac{2977 x^{2}}{27}$

$\frac{38701 x}{81}$

$\frac{29770}{81}$

Étape 8.23

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$\frac{x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x}{27}$

$\frac{2977}{81}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$10$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$9 x$

$0$

$x^{5}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{10 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$\frac{13 x^{4}}{3}$

$\frac{169 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{130 x^{2}}{9}$

$9 x$

$\frac{199 x^{3}}{9}$

$\frac{2587 x^{2}}{27}$

$\frac{1990 x}{27}$

$\frac{2977 x^{2}}{27}$

$\frac{2233 x}{27}$

$0$

$\frac{2977 x^{2}}{27}$

$\frac{38701 x}{81}$

$\frac{29770}{81}$

$\frac{45400 x}{81}$

$\frac{29770}{81}$

Étape 8.24

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{13 x^{2}}{9} + \frac{199 x}{27} + \frac{2977}{81} + \frac{\frac{45400 x}{81} + \frac{29770}{81}}{3 x^{2} - 13 x - 10}$

Étape 8.25

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{13 x^{2}}{9} + \frac{199 x}{27} + \frac{2977}{81}$

Étape 9

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - \frac{2}{3}, 5$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{13 x^{2}}{9} + \frac{199 x}{27} + \frac{2977}{81}$

Étape 10