Pré-calcul Exemples

$\log_{3} (a - 2) + \log_{3} (a - 2) = 2$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} ((a - 2) (a - 2)) = 2$

Étape 1.2

Développez $(a - 2) (a - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{3} (a (a - 2) - 2 (a - 2)) = 2$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{3} (a \cdot a + a \cdot - 2 - 2 (a - 2)) = 2$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{3} (a \cdot a + a \cdot - 2 - 2 a - 2 \cdot - 2) = 2$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$\log_{3} (a^{2} + a \cdot - 2 - 2 a - 2 \cdot - 2) = 2$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $a$ .

$\log_{3} (a^{2} - 2 \cdot a - 2 a - 2 \cdot - 2) = 2$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\log_{3} (a^{2} - 2 a - 2 a + 4) = 2$

Étape 1.3.2

Soustrayez $2 a$ de $- 2 a$ .

$\log_{3} (a^{2} - 4 a + 4) = 2$

Étape 2

Réécrivez $\log_{3} (a^{2} - 4 a + 4) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$3^{2} = a^{2} - 4 a + 4$

Étape 3

Résolvez $a$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $a^{2} - 4 a + 4 = 3^{2}$ .

$a^{2} - 4 a + 4 = 3^{2}$

Étape 3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$a^{2} - 4 a + 4 = 9$

Étape 3.3

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$a^{2} - 4 a + 4 - 9 = 0$

Étape 3.4

Soustrayez $9$ de $4$ .

$a^{2} - 4 a - 5 = 0$

Étape 3.5

Factorisez $a^{2} - 4 a - 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 5$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 5, 1$

Étape 3.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(a - 5) (a + 1) = 0$

Étape 3.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$a - 5 = 0$

$a + 1 = 0$

Étape 3.7

Définissez $a - 5$ égal à $0$ et résolvez $a$ .

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Étape 3.7.1

Définissez $a - 5$ égal à $0$ .

$a - 5 = 0$

Étape 3.7.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$a = 5$

Étape 3.8

Définissez $a + 1$ égal à $0$ et résolvez $a$ .

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Étape 3.8.1

Définissez $a + 1$ égal à $0$ .

$a + 1 = 0$

Étape 3.8.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$a = - 1$

Étape 3.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(a - 5) (a + 1) = 0$ vraie.

$a = 5, - 1$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{3} (a - 2) + \log_{3} (a - 2) = 2$ vrai.

$a = 5$