Pré-calcul Exemples

${(a^{3})}^{- 1} = \frac{1}{216}$

Étape 1

Simplifiez les deux côtés.

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Étape 1.1

Multipliez les exposants dans ${(a^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{3 \cdot - 1} = \frac{1}{216}$

Étape 1.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$a^{- 3} = \frac{1}{216}$

Étape 1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{a^{3}} = \frac{1}{216}$

Étape 2

Multipliez le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction. Définissez une valeur égale au produit du dénominateur de la première fraction et du numérateur de la deuxième fraction.

$1 \cdot 216 = a^{3} \cdot 1$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $a$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $a^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 216$ .

$a^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 216$

Étape 3.2

Multipliez $a^{3}$ par $1$ .

$a^{3} = 1 \cdot 216$

Étape 3.3

Multipliez $216$ par $1$ .

$a^{3} = 216$

Étape 3.4

Soustrayez $216$ des deux côtés de l’équation.

$a^{3} - 216 = 0$

Étape 3.5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.5.1

Réécrivez $216$ comme $6^{3}$ .

$a^{3} - 6^{3} = 0$

Étape 3.5.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = a$ et $b = 6$ .

$(a - 6) (a^{2} + a \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Étape 3.5.3

Simplifiez

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Étape 3.5.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $a$ .

$(a - 6) (a^{2} + 6 a + 6^{2}) = 0$

Étape 3.5.3.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$(a - 6) (a^{2} + 6 a + 36) = 0$

Étape 3.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$a - 6 = 0$

$a^{2} + 6 a + 36 = 0$

Étape 3.7

Définissez $a - 6$ égal à $0$ et résolvez $a$ .

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Étape 3.7.1

Définissez $a - 6$ égal à $0$ .

$a - 6 = 0$

Étape 3.7.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$a = 6$

Étape 3.8

Définissez $a^{2} + 6 a + 36$ égal à $0$ et résolvez $a$ .

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Étape 3.8.1

Définissez $a^{2} + 6 a + 36$ égal à $0$ .

$a^{2} + 6 a + 36 = 0$

Étape 3.8.2

Résolvez $a^{2} + 6 a + 36 = 0$ pour $a$ .

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Étape 3.8.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.8.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 6$ et $c = 36$ dans la formule quadratique et résolvez pour $a$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 36)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.2.3

Simplifiez

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Étape 3.8.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.2.3.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$a = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 36$ .

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Étape 3.8.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$a = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $36$ .

$a = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.2.3.1.3

Soustrayez $144$ de $36$ .

$a = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.2.3.1.4

Réécrivez $- 108$ comme $- 1 (108)$ .

$a = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (108)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$a = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$a = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.2.3.1.7

Réécrivez $108$ comme $6^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.8.2.3.1.7.1

Factorisez $36$ à partir de $108$ .

$a = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.2.3.1.7.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$a = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$a = \frac{- 6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.2.3.1.9

Déplacez $6$ à gauche de $i$ .

$a = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$a = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.8.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$ .

$a = - 3 \pm 3 i \sqrt{3}$

Étape 3.8.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$a = - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$

Étape 3.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(a - 6) (a^{2} + 6 a + 36) = 0$ vraie.

$a = 6, - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$