Pré-calcul Exemples

${(z^{2} + 8 z)}^{2} + 23 (z^{2} + 8 z) + 112 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez $u = z^{2} + 8 z$ . Remplacez toutes les occurrences de $z^{2} + 8 z$ par $u$ .

$u^{2} + 23 u + 112 = 0$

Étape 1.2

Factorisez $u^{2} + 23 u + 112$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $112$ et dont la somme est $23$ .

$7, 16$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u + 7) (u + 16) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $z^{2} + 8 z$ .

$(z^{2} + 8 z + 7) (z^{2} + 8 z + 16) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$z^{2} + 8 z + 7 = 0$

$z^{2} + 8 z + 16 = 0$

Étape 3

Définissez $z^{2} + 8 z + 7$ égal à $0$ et résolvez $z$ .

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Étape 3.1

Définissez $z^{2} + 8 z + 7$ égal à $0$ .

$z^{2} + 8 z + 7 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $z^{2} + 8 z + 7 = 0$ pour $z$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $z^{2} + 8 z + 7$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $7$ et dont la somme est $8$ .

$1, 7$

Étape 3.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(z + 1) (z + 7) = 0$

Étape 3.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$z + 1 = 0$

$z + 7 = 0$

Étape 3.2.3

Définissez $z + 1$ égal à $0$ et résolvez $z$ .

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Étape 3.2.3.1

Définissez $z + 1$ égal à $0$ .

$z + 1 = 0$

Étape 3.2.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$z = - 1$

Étape 3.2.4

Définissez $z + 7$ égal à $0$ et résolvez $z$ .

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Étape 3.2.4.1

Définissez $z + 7$ égal à $0$ .

$z + 7 = 0$

Étape 3.2.4.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$z = - 7$

Étape 3.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(z + 1) (z + 7) = 0$ vraie.

$z = - 1, - 7$

Étape 4

Définissez $z^{2} + 8 z + 16$ égal à $0$ et résolvez $z$ .

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Étape 4.1

Définissez $z^{2} + 8 z + 16$ égal à $0$ .

$z^{2} + 8 z + 16 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $z^{2} + 8 z + 16 = 0$ pour $z$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.2.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$z^{2} + 8 z + 4^{2} = 0$

Étape 4.2.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 z = 2 \cdot z \cdot 4$

Étape 4.2.1.3

Réécrivez le polynôme.

$z^{2} + 2 \cdot z \cdot 4 + 4^{2} = 0$

Étape 4.2.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = z$ et $b = 4$ .

${(z + 4)}^{2} = 0$

Étape 4.2.2

Définissez le $z + 4$ égal à $0$ .

$z + 4 = 0$

Étape 4.2.3

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$z = - 4$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(z^{2} + 8 z + 7) (z^{2} + 8 z + 16) = 0$ vraie.

$z = - 1, - 7, - 4$