Pré-calcul Exemples

$3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x + 5 y = 0$

Étape 1

Divisez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 x + \frac{5 y}{3} = 0$

Étape 2

Complétez le carré pour $x^{2} - 2 x$ .

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Étape 2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Étape 2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Étape 2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{1}$

Étape 2.3.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$d = - 1$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Étape 2.4.2.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.4.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Étape 2.4.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Étape 2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e = 0 - 1$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - 1)}^{2} - 1$ .

${(x - 1)}^{2} - 1$

Étape 3

Remplacez $x^{2} - 2 x$ par ${(x - 1)}^{2} - 1$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - 2 x + \frac{5 y}{3} = 0$ .

${(x - 1)}^{2} - 1 + y^{2} + \frac{5 y}{3} = 0$

Étape 4

Déplacez $- 1$ du côté droit de l’équation en ajoutant $1$ des deux côtés.

${(x - 1)}^{2} + y^{2} + \frac{5 y}{3} = 0 + 1$

Étape 5

Complétez le carré pour $y^{2} + \frac{5 y}{3}$ .

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Étape 5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{5}{3}$

$c = 0$

Étape 5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{5}{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 5.3.2.3

Multipliez $\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Multipliez $\frac{5}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{5}{3 \cdot 2}$

Étape 5.3.2.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$d = \frac{5}{6}$

Étape 5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(\frac{5}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{3}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{5^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2.1.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2.1.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{9}}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{9}}{4}$

Étape 5.4.2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = 0 - (\frac{25}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 5.4.2.1.4

Multipliez $\frac{25}{9} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 5.4.2.1.4.1

Multipliez $\frac{25}{9}$ par $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{25}{9 \cdot 4}$

Étape 5.4.2.1.4.2

Multipliez $9$ par $4$ .

$e = 0 - \frac{25}{36}$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez $\frac{25}{36}$ de $0$ .

$e = - \frac{25}{36}$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$ .

${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$

Étape 6

Remplacez $y^{2} + \frac{5 y}{3}$ par ${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - 2 x + \frac{5 y}{3} = 0$ .

${(x - 1)}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36} = 0 + 1$

Étape 7

Déplacez $- \frac{25}{36}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{25}{36}$ des deux côtés.

${(x - 1)}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = 0 + 1 + \frac{25}{36}$

Étape 8

Simplifiez $0 + 1 + \frac{25}{36}$ .

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Étape 8.1

Additionnez $0$ et $1$ .

${(x - 1)}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = 1 + \frac{25}{36}$

Étape 8.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

${(x - 1)}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{36}{36} + \frac{25}{36}$

Étape 8.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x - 1)}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{36 + 25}{36}$

Étape 8.4

Additionnez $36$ et $25$ .

${(x - 1)}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{61}{36}$