Pré-calcul Exemples

$\sin (\cos^{-1} (u) - \tan^{-1} (v))$

Étape 1

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$\sin (\cos^{-1} (u)) \cos (\tan^{-1} (v)) - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(u, \sqrt{1^{2} - u^{2}})$ , $(u, 0)$ , et l’origine. Alors $\cos^{-1} (u)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(u, \sqrt{1^{2} - u^{2}})$ . Ainsi, $\sin (\cos^{-1} (u))$ est $\sqrt{1 - u^{2}}$ .

$\sqrt{1 - u^{2}} \cos (\tan^{-1} (v)) - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Étape 2.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - u^{2}} \cos (\tan^{-1} (v)) - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Étape 2.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = u$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \cos (\tan^{-1} (v)) - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Étape 2.1.4

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, v)$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $\tan^{-1} (v)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, v)$ . Ainsi, $\cos (\tan^{-1} (v))$ est $\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Étape 2.1.5

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} (\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}) - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Étape 2.1.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.6.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}} \sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Étape 2.1.6.2

Élevez $\sqrt{1 + v^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} \sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Étape 2.1.6.3

Élevez $\sqrt{1 + v^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + v^{2}}}^{1}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Étape 2.1.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1 + 1}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Étape 2.1.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Étape 2.1.6.6

Réécrivez ${\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}$ comme $1 + v^{2}$ .

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Étape 2.1.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + v^{2}}$ comme ${(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{({(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Étape 2.1.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Étape 2.1.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Étape 2.1.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Étape 2.1.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{1}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Étape 2.1.6.6.5

Simplifiez

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Étape 2.1.7

Multipliez $\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ .

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Étape 2.1.7.1

Associez $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ et $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Étape 2.1.7.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Étape 2.1.8

Les fonctions cosinus et arc cosinus sont inverses.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \sin (\tan^{-1} (v))$

Étape 2.1.9

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, v)$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $\tan^{-1} (v)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, v)$ . Ainsi, $\sin (\tan^{-1} (v))$ est $\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$

Étape 2.1.10

Multipliez $\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u (\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}})$

Étape 2.1.11

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.11.1

Multipliez $\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}} \sqrt{1 + v^{2}}}$

Étape 2.1.11.2

Élevez $\sqrt{1 + v^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} \sqrt{1 + v^{2}}}$

Étape 2.1.11.3

Élevez $\sqrt{1 + v^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + v^{2}}}^{1}}$

Étape 2.1.11.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1 + 1}}$

Étape 2.1.11.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}}$

Étape 2.1.11.6

Réécrivez ${\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}$ comme $1 + v^{2}$ .

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Étape 2.1.11.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + v^{2}}$ comme ${(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{({(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.11.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.1.11.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.1.11.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.11.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.1.11.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{1}}$

Étape 2.1.11.6.5

Simplifiez

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$

Étape 2.1.12

Associez $\frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ et $u$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - \frac{v \sqrt{1 + v^{2}} u}{1 + v^{2}}$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})} - v \sqrt{1 + v^{2}} u}{1 + v^{2}}$